Zahlen die glatt durch 7 teilbar sind ohne nachkommastellen, gibt es einen trick um die zahlen so schnell wie möglich zu finden?
Zahlen wie 17 245 425 499 131 12 49 96 112
5 Antworten
Da gibt es komplexe Algorithmen.
Einer steht hier. Am besten nimmt man gleich den ersten, der relativ einfach ist:
Beispiel 693
69 - 6 = 63 ist teilbar, also 693 durch 7 teilbar
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Beispiel 694
69 - 8 = 61 nicht durch 7 teilbar, also 694 ebenfalls nicht
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Beispiel 8638
863 - 16 = 847
84 - 14 = 70 teilbar durch 7, daher 8638 ebenfalls
ICH geb dir jetzt mal ein paar wirklich brauchbare Teilbarkeitsregeln .
Schritt 1) des Teilertests habe ich selber entwickelt. In der Zifferndarstellung der zu prüfenden Zahl n ist jede Ziffer zu ersetzen
7 ====> 0 ( 1a )
8 ====> 1 ( 1b )
9 ====> 2 ( 1c )
Die Zahl n ' , die du dann erhältst, nenne ich die 7-er reduzierte . Es gilt trivial
n ' = n mod 7 ( 2 )
Dass Reduktion ( 1a-c ) eine deutliche Vereinfachung mit sich bringt, ist offensichtlich . Als Nächstes machen wir uns eine Quersumme zu Nutze; die ===> alternierende Quersumme k-ter Ordnung A ( k ) ist eine Teilbarkeitsregel für p dann und nur dann, falls ( 10 ^ k + 1 ) teilbar durch p . In unserem Fall ist natürlich p = 7 ; probieren wir k = 3 , d.h. A3
7 | 10 ³ + 1 = 1 001 ( 3 )
Du hast also in n ' Dreiergruppen abzuteilen, beginnend von Rechts . Du liesest allenthalben, es sei egal, ob du die rechteste Gruppe mit Vorzeichen Plus oder Minus beginnst. Stimmt nicht; stets musst du mit Plus beginnen . Weil erst mir ist aufgefallen, dass alle Quersummen auch Modulo funktionieren; wenn du ( etwa bei einer großen Zahl mit 4 711 Stellen ) die A3 einige hundert Mal hintereinander anwendest, geben alle Zwischenergebnisse den selben Rest mod 7 . Würdest du mit Minus statt Plus beginnen, käme der Rest natürlich mit dem falschen Vorzeichen raus .
Eh wenn Tunnel ist auch nach jeder Anwendung der A3 Reduktionsschritt ( 1a-c ) zu wiederholen .
Am ende landeest du also bei einer ( höchstens ) 3-stelligen Zahl m ( end ) < 700 Nun ist es sicher kein Akt, für eine 3-stellige Zahl ihren Rest bei Division durch 7 auszumitteln . Aber selbst hier gibt es noch einen Trick für Faule . Ich schmeichle mir, der Entdecker der " 100-er-Regeln " zu sein; für Zahlen p, die nicht wesentlich größer sind als 100 , funktioniert dieser Teilertest recht einheitlich . du fragst einfach ; was ist 100 mod p ?
Mein Lieblingscomic ist übrigens Yogibär; denn Yogi ist bedeutend klüger als ein Durchschnittsbär . Weil die Babylonier entdeckten die 100-er Regel mod 7 ; darum bezeichnet man diesen Sonderfall als " babylonischen Teilertest " Aber das allgemeine Prinzip dämmerte ihnen nicht .
Was ist 100 mod 7 ? 100 mod 7 = 2
ein Beispiel
417 = 4 * 100 + 17 = 4 * 2 + 17 mod 7 = 25 mod 7 = ( - 3 ) ( 4 )
Hier wird quasi unterstellt, dass du wenisten für zweistellige Zahlen ( < 70 ! ) den Rest mod 7 auswändig weißt .
Noch Fragen?
Tut mir Leid; ( 1.4 ) war ein Eigentor . 417 hätte ich erst reduzieren müssen; dann wäre es 410
410 = 4 * 2 + 10 mod 7 = 18 mod 7 = ( - 3 ) ( 2.1 )
Die Zahlen werden einfach kleiner .
Gibt es:
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn auch jene Zahl durch 7 teilbar ist, die entsteht, wenn man das Doppelte der letzten Ziffer von der restlichen Zahl subtrahiert.
Wo ist das Problem? Hat doch eine Stelle winiger. Kannste aber auch direkt ausrechnen und fertig.
Das ist für heutige Schüler vlt. gar nicht so einfach ...
Hmm.. Einfach die 7er Reihe.. Gar nicht soooo schwer
Wow!