Wurzel, Potenzen von Matrizen?
Da ich mich gerade aufs Studium vorbereite, hab ich mich unteranderem schon mal ein bisschen in das Thema Matrizen eingearbeitet. Wenn ich eine Matrix quadrieren will, dann muss diese ja quadratisch sein und ich kann einfach eine Matrizenmultiplikation mit der Matrix selbst machen. Kann ich dann auch eine Matrix mit beliebigem Exponenten potenzieren? 1/2, also Wurzel, -2 etc. Ist das definiert bzw. überhaupt sinnvoll? Auf YouTube hab ich nix zu dem Thema gefunden, bzw. nur Videos, die schon weiter in die Lineare Algebra einsteigen und die ich noch nicht verstehe.
Würde mich über eine Antwort freuen.
LG Jonas
1 Antwort
Beliebig nicht, nein. Zumindest negative Potenzen gehen aber, sofern die Matrix invertierbar ist. Dann ist nämlich A^(-n) auch als (A^(-1))^n interpretierbar.
Wurzeln sind auch möglich. Die k-te Wurzel namens B einer quadratischen Matrix namens A der Größe n ist B=exp(1/k * ln(A)), wobei man exp und ln über ihre üblichen Reihen definiert. Zu zeigen ist noch, dass diese Reihen auch immer konvergieren (das ist genau dann der Fall, wenn A - E_n eine nilpotente Matrix ist) und dass die "gewohnten" Eigenschaften von exp und ln auch bei Matrizen vorhanden sind. Dann existiert B auch. Siehe auch hier:
