wozu braucht man topologische räume?
heyho,
ich kapiere nicht was der sinn von topologien bzw. topologischen räumen sein soll, man hat eine menge deren elemente jeweils eine umgebung haben soweit ich das verstanden habe (was genau das heißt ist mir zwar noch nicht ganz klar, aber ich stells mir so vor wie in den reellen zahlen, dass zwischen 2 und 1 unendlich viele andere zahlen liegen es also keine klare grenze gibt) nur wozu brauch ich das ? ich kapier den sinn dieser klassifizierung nicht.
gruß
4 Antworten
Unabhängig vom Begriff ist es immer so, dass man eine Umgebung hat, in der eine Reihe von Gesetzen formuliert werden kann, die nur in dieser definierten Umgebung gelten. In einer anderen Umgebung gelten sie nicht oder nur teilweise oder ganz andere. Hat man die Umgebung definiert, also mit einem Namen versehen, weiß jedeR, der in derselben Umgebung "herumrechnet", dass er sich um diese (inzwischen bewiesenen) Gesetze nicht mehr zu kümmern braucht und weitere Untersuchungen anstellen kann, die auf den schon bewiesenen basieren.
da, wie PhotonX schon erwähnt hatte, topologische räume höchst abstrakt/allgemein sind, kann man für eine vielzahl von spezialfällen schlussfolgerungen ziehen.
ein einfaches anwendungsbeispiel ist die topologische definition von stetigkeit. "urbilder offener mengen sind offen"
oft muss man in der mathematik die abgeschlossenheit von mengen zeigen. diese können als gleichung oder ungleichung formuliert sein, zB die nullstellen einer stetigenfunktion oder ähnliches. lösungen einer ungleichung {x aus R | x^2+7<1/(|x|+1)}.
ist das eine abgeschlossene oder offene menge? was passiert, wenn man "<" durch "<=" ersetzt?
was passiert, wenn es viel kompliziertere konstrukte sind als reelle funktionen?
für topologie kein problem damit umzugehen!
Ein topologischer Raum ist, soweit ich weiß, der allgemeinste Raum, auf dem man noch sinnvoll Stetigkeit definieren kann. Und das ganz ohne zusätzliche Konstruktionen wie Norm oder Metrik!
Der Teilchenbeschleuniger in Cern ist auch ein topologischer Raum, .....
Aber in gewisser Weise auch die Steilwände bei der Nazca-Series oder die Motorradsteilwand auf dem Rummel.
In anderer Hinsicht liegt auch die Zahl PI auf nicht genau definierbaren Koordinaten in einem solchen Raum (mathematisch gesehen).
das geht an meiner frage vorbei, mir ist klar das topologische räume existieren meine frage ist nur wozu sie explizit benannt werden? was ist das tolle an einer topologie?
gruß