Warum liegt zwischen zwei reellen Zahlen immer eine reelle Zahl?
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3 Antworten
Die Antwort ist aber ganz einfach, wenn man plastisch denkt.
Du stellst dir irgendeine rationale Zahl vor und hinter der letzten Kommastelle eine 2. Dann passt immer noch die mit der 1 an dieser Stelle dazwischen. Das kannst du so oft machen, wie du willst.
Die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen; es reicht also schon, wenn man in Q überall mindestens eine Zahl dazwischen zwängen kann.
Naja, es ist einfach zu beweisen, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt, und da Q Teilmenge von R, kannst du auch sagen, dass da eine reelle zwischen liegt.
Bestimmt gibt´s noch ne andere Möglichkeit, aber das würde mir jetzt so spontan einfallen.
Deine Frage ist trivial: a a < (a+b)/2 < b
Die „richtige“ Frage lautet, warum es immer zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale gibt. (Ähnlich, warum es zw. 2 immer eine irrationale Zahl gibt.)
Die Antwort darauf:
(R; <) ist die Vervollständigung der rationalen Zahlen bzgl. der Struktur (Q; <), deshalb liegt Q in der Topologie von (R; <) dicht.