Woran erkenne ich dass diese Reihe divergiert?
Ich hab erst das Wurzelkriterium versucht wegen hoch n, das hat aber nicht funktioniert. Mit den Quotientenkriterium bekomme ich jetzt das hier
Nur warum geht das ganze gegen 5 ? Also klar kann man das "sehen", da man mit dem Kehrbruch Multiplizieren kann, und dann hat man 5^n+1 oben im Zähler und 5^n unten, jedoch habe ich doch im Zähler immer eine Potenz höher als im Nenner, warum trotzdem gegen 5 ?
3 Antworten
Warum so kompliziert?
Notwendige Voraussetzung dafür, daß eine Reihe konvergiert ist, daß die dazugehörige Folge eine Nullfolge ist.
Es genügt also zu zeigen, daß:
für n gegen unendlich NICHT konvergiert.
Du kannst diesen Bruch umschreiben zu (5^(n+1)*n^3)/((5^n)*(n+1)^3). 5^(n+1) kannst du umschreiben zu (5^n)*5. Wenn du das einsetzt, kannst du 5^n rauskürzen. Jetzt musst du nur noch n^3 rauskürzen, dann steht da noch 5/(1+1/n)^3. Den Limes hab ich jetzt immer weggelassen, den musst du natürlich vorne hinschreiben. Für n gehen unendlich ist 1/n ja gegen Null. Folglich steht da 5/(1+0)^3=5/1=5
Ich hoffe, du kannst die einzelnen Schritte so nachvollziehen, ansonsten gerne nachfragen :)
Hallo,
Du mußt mit dem Kehrbruch multiplizieren:
[5^(n+1)*n^3]/[5^n*(n+1)^3]
Da 5^(n+1)=5*5^n, kann 5^n gekürzt werden.
Es bleibt 5n^3/(n+1)^3.
Limes gegen n gleich unendlich ist der Quotient aus den beiden höchsten Potenzen von Zähler und Nenner, also 5n^3/n^3, und der ist 5.
Herzliche Grüße,
Willy
stimmt, ich kann den Bruch 5^n+1 ja einfach außeinanderziehen... Das ist mir irgendwie gerade entgangen...
stimmt... Aber das muss ich doch eigentlich gar nicht mehr zeigen ??? Ich meine man sieht doch direkt dass das keine Nullfolge ist ?