WolframAlpha gibt merkwürdigen Ausdruck bei der Gammafunktion?

Hallo!

Ich habe bisschen experimentiert und entdeckte ein Tolles Ergebnis in WolframAlpha im Bezug auf die "incomplete gamma function" sprich Γ(a, b). Dabei handelt es sich um den Imaginärteil von der Funktion Γ(-1, -ln(2))=π ergibt. Dieses Ergebnis bleibt ähnlich bei vielen Werten von a. Wenn a z.B. 0 ergibt, ist der Imaginärteil anscheinend -π. Habe ich aus Zufall etwas entdeckt? Oder handelt es sich hier um eine einfache Antwort.

Answer 1

[mihisu]

Naja. Wenn man...

$\Gamma(s+1, x)=s\cdot \Gamma(s, x)+x^{s}\cdot e^{-x}$

... bedenkt und nur reelle Werte für s und x betrachtet, erhält man...

$\text{Im}\left(\Gamma(s+1, x)\right)=s\cdot \text{Im}\left(\Gamma(s, x)\right)$

Bzw. umgekehrt dann (für s ungleich 0)...

$\text{Im}\left(\Gamma(s, x)\right)=\frac{1}{s}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(s+1, x)\right)$

Damit erhält man dann insbesondere...

$\text{Im}\left(\Gamma(-1, x)\right)=\frac{1}{-1}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(0, x)\right)$

$\text{Im}\left(\Gamma(-2, x)\right)=\frac{1}{-2}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(-1, x)\right)=\frac{1}{(-2)\cdot (-1)}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(0, x)\right)$

$\text{Im}\left(\Gamma(-3, x)\right)=\frac{1}{-3}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(-2, x)\right)=\frac{1}{(-3)\cdot (-2)\cdot (-1)}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(0, x)\right)$

$[\ldots]$

$\text{Im}\left(\Gamma(-n, x)\right)=\frac{1}{\left(-1\right)^{n}\cdot n!}\cdot \text{Im}\left(\Gamma(0, x)\right)$

Für x = -ln(2) dann eben...

$\text{Im}\left(\Gamma(-n, -\ln(2))\right)=\frac{1}{\left(-1\right)^{n}\cdot n!}\cdot \left(-\pi\right)$

$\text{Im}\left(\Gamma(-n, -\ln(2))\right)=\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n!}\cdot \pi$

Es wundert mich also nicht, dass du das immer etwas von der Form ±π/(n!) erhältst, wenn du Im(Γ(-n, -ln(2))) für natürliche Zahlen n betrachtest.

Comments

[IchMagGiraffen]

Danke für die Antwort :D