Gibt es Zahlen mit unendlich vielen Zahlen nach dem Komma (außer Zahl Pi)?
Hey Leute ich hab erfahren, dass die Zahl Pi unendlich viele Zahlen nach dem Komma hat. Gibt es noch andere solche Zahlen? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum nicht?
7 Antworten
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Schreibe eine nichtnegative ganze Zahl n hin, setze danach ein Komma und lasse dahinter eine beliebige Folge aus Ziffern folgen. Dann hast du eine nichtnegative reelle Zahl dargestellt (>=n und <n+1). So bekommst du sogar jede nichtnegative reelle Zahl. Setzt du nun noch vor jede dieser Zahlen ein Minuszeichen, so bekommst du auch noch alle negativen reellen Zahlen dazu.
Dabei werden nicht alle reellen Zahlen eindeutig dargestellt: Genau die rationalen Zahlen, die sich so als Bruch schreiben lassen, dass der Nenner keine anderen Primteiler als 2 oder 5 hat, haben zwei Darstellungen (z.B.gilt: 2 = 2,000... =1,999...); bei allen anderen ist die Darstellung (also das n, das Vorzeichen und die Folge nach dem Komma) eindeutig.
Wenn man allerdings genau verstehen will, wieso das so ist und was es eigentlich heißen soll, "nach dem Komma eine Ziffernfolge folgen zu lassen", muss man schon ein Semester Mathematik studieren, nämlich die Vorlesung "Analysis I".
Es gibt sogar unendlich viele solche Zahlen. Diese sind sogar in der "Mehrheit".
Endliche Dezimaldarstellungen haben nur solche Brüche, die sich mit einem Nenner der Form 2ᵃ⋅5ᵇ schreiben lassen. Andere Brüche, wo ein anderer Primfaktor im Nenner vorkommt, den man nicht kürzen kann, haben keine endliche Dezimaldarstellung, z.B. 1/3.
Neben den rationalen Zahlen (die welche sich als Bruch darstellen lassen) gibt es noch weitaus mehr irrationale Zahlen, z.B. π plus eine rationale Zahl ist auch wieder eine irrationale Zahl. Das heißt zu jeder rationalen Zahl gibt es mindestens eine irrationale Zahl. Also die Abbildung q ↦ π + q mit q ∈ ℚ ordnet einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl zu. Weiterhin sind π², π³, π⁴, usw und Wurzeln von Nicht-Quadratzahlen auch irrational.
Ja, es gibt verschiedene Arten von Zahlen, auf die das zutrifft:
- Rationale Zahlen => Also zwei ganze Zahlen (z.B. m und n) durcheinander geteilt: m/n - wenn m kein ganzes Vielfaches von n ist. Eigenschaft: Die Zahl wird nach dem Komma periodisch
- Irrationale Zahlen, die Lösungen von Polynomen sind: Bekannteste Beispiele: √2, √3...
- Irrationale Zahlen, die zu keiner der vorher genannten Gruppen gehören: transzedente Zahlen: Zum Beispiel Pi und die Eulersche Zahl (e)
Was ist das richtige Kriterium für periodische, rationale Zahlen? Mir fällt spontan keine Formulierung ein.
Es gibt eine Primzahl p, die ungleich 2 und ungleich 5 ist, sodass p Nenner teilt (wobei der Zähle und der Nenner teilerfremd sind)
Denn nur die Rationale Zahlen, die sich so erweitern lassen können, sodass im Nenner eine Zehnerpotenz ist, sind nicht periodisch. Wenn also eine Zahl im Nenner ist, die nicht 10 teilt, und nicht wegkürzbar ist, ist die Zahl periodisch.
Ja, es gibt sogar unendlich viele von denen.
Sogar überabzählbar viele. (Das ist bewiesen)
Zum Beispiel gehören die Irrationalen Zahlen dazu, einige klassische Beispiele dafür sind Pi, die eulersche Zahl, sowie die Wurzel von 2 (bzw die Wurzel von jeder Primzahl)
Es gibt aber auch rationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Zum Beispiel 1/3.
1/2 hat nur endlich viele Nachkommastellen, obwohl 1 kein Vielfaches von 2 ist.