wieso ist der umfang eines vierecks immer größer als die summe der diagonallängen?
(vierecke ohne einspringende ecken)
3 Antworten
Betrachte die Seiten a und b als Vektoren v und w, die die selbe Länge wie die Seiten haben.
Es gilt (Dreiecksungleichung)
Norm(v)+Norm(w)>= Norm(v+w) |*2
2(Norm(v)+Norm(w)>=2Norm(v+w)
Norm: Länge
Die linke Seite ist ist der Umfang, die rechte die Summe der Diagonalen.
Du kannst es auch mithilfe von Dreiecken begründen:
Bei einem Dreieck mit den Seiten a,b,c Gilt immer:
a+b>c, a und b Sind hier die Seiten, c die Diagonalen, nun kannst du erneut beide Seiten um 2 erweitern
Da muss man vielleicht noch etwas basteln, aber die andere "Hälfte" ist ja eigentlich direkt analog. Es reicht ja schon zu zeigen, dass die Summe zweier Seitenlängen in einem Dreieck stets größer als die dritte Seite ist.
So angepasst:
Seien a b c d die Seiten, und u v w z die dazu gehörigen Vektoren (u und v sowie w und z teilen sich eine Ecke)
Es gilt: (Dreiecksungleichung)
Norm(v)+Norm(w)>= Norm(v+w)
Norm(x)+Norm(u)>=Norm(x+u)
Somit gilt Norm(x)+Norm(u)+Norm(v)+Norm(w)>=Norm(v+w)+Norm(x+u)
Die linke Seite ist der Umfang, der Rechte die Summe der Diagonalen
Die Diagonalen sind immer die direkte Verbindung zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten. Die Summe zweier benachbarter Seiten ist immer ein "Umweg" zwischen den gegenüberliegenden Ecken, also länger als die entsprechende Diagonale.
Es gilt also: (a,b,c,d sind die 4 Seiten, e und f die Diagonalen)
a + b > e
c + d > e
a + d > f
b + c > f
Summiert man das so bekommt man:
2 (a+b+c+d) < 2(e+f), also a+b+c+d < e+f
w.z.z.w
Aus dem gleichen Grund, aus dem zwei Seiten eines Dreiecks zusammen immer länger sind als die dritte...
Die Variante mit der Dreiecksungleichung gefällt mir!