Wieso darf man das so umschreiben?
Hey, könntet ihr mir vielleicht helfen zu verstehen, wie diese Gleichheit zustande kommt? Ich sehe irgendwie nicht, wieso ich den linken Ausdruck direkt als Produkt zwischen zwei Potenzreihen darstellen darf.
VG:)
2 Antworten
Beachte, dass mit der geometrischen Reihe gilt:
1/1 - q = sum(k, 0, inf){ q^k }
für |q| < 1. Entsprechend folgt hier:
1/(z - i ) = 1/(z - 1 + i - 1) = (1/(i - 1))*1/(1 + (z - 1)/(i - 1))
Mit |(z - 1)/(i - 1)| < 1 gilt dann
1/(z - i) = sum(k, 0, inf){ (1/(i - 1)) * [(z - 1)/(i - 1)]^k }
was durch zusammenfassen dann zu
1/(z - i) = sum(k, 0, inf){ (z - 1)^k/(i - 1)^(k+1) }
wird. Der Trick lag hier somit in der Verwendung einer kreativen Null und geschicktem Ausklammern, sowie der Anwendung der geometrischen Reihe.
Mir ist soeben noch ein Flüchtigkeitsfehler aufgefallen. Es gilt:
1/(z - i) = 1/(z - 1 - (i - 1)) = (-1)/(i - 1) * 1/(1 - (z - 1)/(i - 1))
Der übrige Vorgang ist der selbe, wie er oben beschrieben wurde, in der Art wie auf die geometrische Reihe zurückgeführt wurde. Dann sollte jedoch auch alles nun stimmen.
Wow, vielen vielen Dank für deine Hilfe. Das ist wirklich super nett:)
Korrektur:
Die geometrische Reihe lautet natürlich
1/(1 - q) = sum(k, 0, inf){ q^k }
für |q| < 1. Die Klammer wurde oben lediglich vergessen.
Eventuell noch die Parameter i und z genauer angeben, also wann die Vorraussetzungen für die harmonische Reihe erfüllt sind
