Unterschied zwischen innerer/ äußerer direkte Summe/Produkt?
Was ist der Unterschied zwischen inneren und äußeren Summen als auch Produkten? Und wieso muss bei der Summe fast alle Vektoren gleich der Nullvektor sein?
1 Antwort
Bei einem äußeren direkten Produkt hat man das kartesische Produkt der Vektorräume und definiert die Vektoraddition und skalare Multiplikation komponentenweise.
Den Begriff inneres Produkt kenne ich in diesem Sinne nur aus der Algebra. In der Linearen Algebra und Funktionalanalysis nennt man das Skalarprodukt auch inneres Produkt. Das darf man nicht verwechseln mit einem Produkt von Vektorräumen. Bei der inneren direkten Summe hat man Unterräume, die paarweise geschnitten jeweils nur den Nullvektorenthalten. Die direkte Summe von diesen Unterräumen ist dann der Raum der Vektoren, die man durch Linearkombinationen der Vektoren aus den Unterräumen erhält.
Linearkombinationen bestehen aus nur endlich vielen Summanden. Wenn man unendlich viele Summanden hat, nennt man das Reihe. Mit diesen und deren Konvergenz beschäftigt man sich in der (Funktional-)analysis. Insbesondere braucht man erst einen eindeutigen Grenzwertbegriff, um eine Reihe als Grenzwert der Partialsummen definieren zu können. Und bei einer Reihe betrachtet man dann auch nur abzählbar viele Summanden.
Beispielsweise erhält man als direkte Summe der Räume der Potenzfunktionen vom Grad n ∈ ℕ₀ nur den Raum der Polynomfunktionen, aber keine weiteren Funktionen, die sich als Potenzreihe darstellen lassen.