Wie zeigt man die Formel für Erwartungswert?

Hallo,

wie zeigt man diese Formel für den Erwartungswert?

Ich hätte mir gedacht, dass ich zuerst die Definition des erwartungswertes hernehme: also E(X) = Summe über i*P(X=i) nach Def.

Dann gibt es einen Trick, ich also das „i“ schreibe als Summe über 1 für alle i.

Leider weiß ich nicht wie’s weitergeht und auch das strikte Kleinerzeichen verwirrt mich.

Vlt kann mir wer helfen!

Answer 1

[Clemens1973]

Versuch doch vorzugehen wie im Hinweis angegeben und den Ausdruck als Doppelsumme zu schreiben:

$\sum_{k=0}^\infty P(X>k)=\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=k+1}^\infty P(X=l)=\sum_{k,l\in\mathbb{N}_0,\,l>k}P(X=l)=...$

Jetzt fehlt nur noch eine kleine Umformung und der Erwartungswert von X steht da.

Answer 2

[eterneladam]

Summe( k = 0; unendlich ) k * p_k =

Summe( k = 1; unendlich ) Summe( l=1 ; k ) p_k =

Summe( l = 1; unendlich ) Summe( k=l ; unendlich ) p_k =

Summe( l = 0; unendlich ) Summe( k=l+1 ; unendlich ) p_k =

Summe( l = 0; unendlich ) P(X>l)

Comments

[0saerdna0]

Vielen Dank. Diese Indexverschiebung war der Knackpunkt!