Wie überprüfe ich auf Stetigkeit und differenzierbarkeit?

Also, wieso muss ich den Grenzewert bilden und warum die Tabelle Links, und Rechts unterscheiden?
Welchen Wert setze ich dann in lim ein und wieso?
also ich bitte um eine Erklärung, was ich überhaupt berechnen soll, welche Zahlen ich einsetzen soll. Ich verstehe gerad eine Bahnhof

Answer 1

[evtldocha]

Du prüfst an jeder Stelle jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte.

Beispiel x=1

Stetigkeit: $\lim_{x\rightarrow1^-}\ f\left(x\right)\ =\lim_{x\rightarrow1^-}x\ =\ 1$ $\lim_{x\rightarrow1^+}\ f\left(x\right)\ =\lim_{x\rightarrow1^+}\ x^2\ -2x+2\ \ =\ 1-2+2\ =\ 1$

Damit liegt Stetigkeit an der Stelle x = 1 vor, da $\lim_{x→1^-}\ ​f(x)\ =\lim_{x→1^+}\ ​f(x)$

Differenzierbarkeit: $\lim_{x→1^{−​}}\ ​f'(x)=\lim_{x→1^−}​​\ 1=1$ $\lim_{x→1^+}f'(x)=\lim_{x→1^+​}\ 2x-2\ =\ 2\cdot1-2=0$

Die Grenzwerte der links- und rechtsseitigen Ableitung sind nicht identisch und daher liegt keine Differenzierbarkeit an der Stelle x=1 vor.

Skizze (gestrichelt sind die links- und rechtsseitigen Tangenten, die nicht übereinstimmen. Man liest dann oft in Aufgaben von einem "Knick", der beim Übergang von einer Funktion f zur Funktion g nicht vorhanden sein soll und dann zur Bedingung f'(x) = g'(x) führt). Was an den anderen beiden Punkte zu erwarten ist, lässt sich hier schon optisch erkennen.