Wie sieht es mit der Konvergenz der folg. Reihe aus?
Wie geht man hier am besten vor? Gibt ein ein Kriterium mit welchem man gut arbeiten kann?
2 Antworten
Hallo,
schreibe den Ausdruck hinter dem Summenzeichen zu Wurzel (k)/k um.
Da Wurzel (k)/k als Reihe größer ist als die Reihe von 1/k und diese schon divergiert, divergiert Wurzel (k)/k erst recht.
Wenn also die Reihe unten divergiert, also gegen unendlich geht, geht der Ausdruck 1 geteilt durch diese Reihe gegen Null, konvergiert also.
Wenn Du nach dem Kriterium fragst: Für die Reihe im Nenner wendest Du das Minorantenkriterium an.
Herzliche Grüße,
Willy
Im Nenner ist keine Reihe. Die fragliche Reihe geht über die Kehrwerte von Summen, welche asymptotisch wie Wurzel(n) gehen. Daher divergiert die Reihe.
Bzw. du hast streng genommen nicht behauptet, dass man das darf, aber so wäre die Aufgabe noch nicht gelöst oder?
Ich gebe mal meine Antwort zum besten, bin mir aber nicht sicher, ob es stimmt:
sqrt(n) >= 1
z := 1/sqrt(1) + 1/sqrt(2) ... <= 1 + 1 + ... = n
a_n = 1 / z >= 1/n
Damit divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium.
Warum darf man annehmen, dass der Kehrbruch konvergiert nur weil es divergiert?
Die Folge a_n = n divergiert genauso wie die Summe darüber, aber die Summe über 1 /a_n divergiert auch