Wie rechnet man diese Aufgabe zu Höhen- und Tiefenwinkeln (Trigonometrie)?
Aus einem Fenster im 1. Stockwerk eines Wohnhauses, das 4,8 m hoch ist, erblickt man die Spitze eines Bürohauses unter dem Höhenwinkel von 36,2 Grad und die Basis unter dem Tiefenwinkel von 4,4 Grad.
Wie hoch ist das Bürohaus und wie weit ist Wohnhaus und Bürohaus voneinander entfernt?
Mir ist nicht ganz klar, wofür die Höhe auch gelten soll. Ich denke, für den Tiefenwinkel, also von Alpha die Gegenkathete gilt, dass sie 4,8 m hoch ist. Auch für eine Beschriftung der jeweiligen Dreiecke wäre ich sehr dankbar.
Danke für Eure Hilfe u. Mühe.
4 Antworten
Im unteren Dreieck hast Du den Winkel links (4,4°) und die Höhe rechts (Gegenkathete, 4,8m) gegeben und suchst die Entfernung, also die Ankathete. Ein Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete gibt der Tangens an.
Bezeichnen wir die Entfernung (Strecke in der Mitte) als s, können wir die erste Gleichung, die Du im Bild siehst, aufstellen.
Damit kommen wir auf s ≈ 62,4 [m] und haben damit die Entfernung errechnet.
Mit dem Höhenwinkel von 36,2° und der Strecke s können wir nun die restliche Höhe des Hauses (Gegenkathete des oberen Dreiecks) h2 errechnen. Damit und der angegebenen Höhe h1 von 4,8m kommen wir dann auf die gesamte Höhe von 50,46m.
Ich habe Dir unten nochmal die beschriftete Skizze und den Rechenweg angehangen.
LG
Hallo,
ich hätte noch eins kurze Frage:
ich bin auf das richtige Ergebnis gekommen (Danke nochmal!) und habe Sinus bei dem 1. verwendet, aber ich wollte fragen, ob ich den Tangens auch verwenden dürfte, denn es kommt ebenfalls 62 heraus, bloß mit anderen Dezimalstellen. Danke im Voraus.
Beim Sinus musst Du Dich halt auf andere Seiten beziehen als beim Tangens, aber das geht natürlich auch.
Wenn Du auf dasselbe Ergebnis kommst, passt ja alles.
Ist ja alles korrekt!
Beim Tiefenwinkel:
die Gegenkathete ist 4,8 m -> damit und mit dem Tifenwinkel kannst du die Ankathete (Abstand der Häuser) berechnen.
nun kennst du auch die Ankathete des Höhenwinkels und kannst daraus die Gegenkatehete des Höhenwinkels berechnen.
Die Summe der beiden Gegenkatheten ist die Höhe des Bürohauses.
Den großen bekannte Winkel nenne ich Alpha (36,2°) und den kleinen Beta (4,4°). Das Fenster ist in einer Höhe von 4,8m...deshalb ist der untere Hochhausabschnitt ebenfalls schonmal 4,8m hoch, du siehst ja diese Linie. Den oberen rechten Winkel bekommst du über die Innenwinkelsumme raus, da du ja den rechten Winkel am Hochhaus kennst, also 53,8°. Die beiden gegebenen Winkel Alpha und Beta ergeben zsm 40,6°. So kannst du nun den fehlenden Winkel im großen gesamten Dreick berechnen, hier also 85,6°.
Du stellst dann die Gleichung Tangens/Beta (4,8m durch die Parallele zum Boden) nach der Parallele um, dann erhälst du für die Bodenparallele also 62,38m. So weit ist das Hochhaus weg. Nun rechnest du über das obere Dreieck mit Hilfe von Tangens/Alpha den anderen Hochhausabschnitt aus, also 45,655m. Das addierst du zum gegebenen Wert vom Anfang = 50,455m. So habe ich es raus, ich hoffe es stimmt!:D
"Ich denke, für den Tiefenwinkel, also von Alpha die Gegenkathete gilt, dass sie 4,8 m hoch ist" Genau.
Dann gilt:
tan(4,4°) = 4,8/x, wobei x die Entfernung zwischen den Gebäuden ist
x = 4,8/tan(4,4°)
tan(36,2) = h1/x
h1 = tan(36,2) * x
h = h1 + 4,8
Danke für Deine Mühe! Es hat mir sehr geholfen.