Mathe? Wie rechne ich das aus?

Von einem 10 m über dem Spiegel eines Sees liegenden Punkt sieht man eine Kirchturmspitze unter einem Höhenwinkel von alpha=17,6°, ihr Spiegelbild im See unter einem Tiefenwinkel von betha= 52,7°.

Ermitteln Sie, wie hoch die Kirchturmsspitze über dem Wasserspiegel liegt.

Die Lösung sollte 16,4 m sein doch ich komm nicht drauf.

Bis jetzt habe ich es in ein Gleichungssystem gesetzt:

1.) tan(alpha)=x÷y --> habe ich dann so umgeformt y=x÷tan(alpha)

2.) tan(betha)=(x+10)÷y

Dann setzte ich y ein in die 2. Gleichung. Somit bekomme ich: tan(betha)=x+10/x÷tan(betha)

Nun komme ich nicht mehr weiter. Wie krieg ich x? Habe ich bis jetzt überhaupt richtig gerechnet?

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

hier eine Zeichnung:

Man kann folgende Gleichungen aufstellen:

$\tan\left(17.6\right)=\frac{x}{l},\ also\ \ x=l\cdot\tan\left(17.6\right)$

$\tan\left(52.7\right)=\frac{20+x}{l}\ ,\ also\ \ l\cdot\tan\left(52.7\right)=20+x$

x aus der ersten Gleichung in 2. Gleichung einsetzen:

$l\cdot\tan\left(52.7\right)=20+l\cdot\tan\left(17.6\right)$

$l\cdot\left(\tan\left(52.7\right)-\tan\left(17.6\right)\right)=20$

$l=\frac{20}{\tan\left(52.7\right)-\tan\left(17.6\right)}$

das ergibt approximativ

$l\ \approx20.09$

Einsetzen in 1. Gleichung =>

x ≈ 20.09 • tan(17.6) ≈ 6.37 =>

Höhe ≈ 6.37 + 10 = 16.37

Gruß