Wie rechne ich die Wurzel und Potenzgleichungen?
Es ist ja so, dass man, wenn man einen Term mit einer Potenz hat, einem Quadrat, eine Wurzel ziehen muss, nämlich die zwote. Aber was auch geht (nur wenn eine Variable (x) vorhanden ist), ist ja, dass man den Betrag macht, sowie in dem Beispiel: (das Bild wird auf meiner Antwort erhältlich sein, hier zu groß zum Speich.)
Hier kann man ja, wie die 2 verschiedenen Programme es gemacht haben, entweder vor einem Term + & - schreiben, und jeweils einzeln ausrechnen, oder bei einem der Terme den Betrag bilden, und die Fallunterscheidung machen, nämlich Term größer gleich null, und Term kleiner gleich null. So kann man eben (auf dem anderen Weg) das selbe machen, eben die erste Variante mit + & -.
Also was ich herausgefunden habe ist, dass ich bei diesen Potenztermen selber entscheiden kann, (nachdem ich auf beiden Seiten die Wurzel gezogen habe), ob ich weiter umforme auf zwei Wegen mit einmal + und einmal -, oder ob ich doch lieber den Betrag mache, denn das ist ja schließlich das selbe, da man dann ja auch vor dem Term das + und das - schreibt. (Das habe ich nie wirklich verstanden (das geschriebene) bis jetzt, obwohl ich hier auf der Plattform gefragt habe, mehrmals, und nie so eine Antwort bekam, die meine Frage beantwortet (bin sehr enttäuscht), aber neuer Versuch :D). Also das hätte ich herausgefunden.
Bei dem Bild ganz oben, sieht man zum Beispiel, dass x größer gleich 2 sein muss, aber -6 herauskam, weshalb das keine Lösung der Gleichung ist. Mal angenommen, es ginge nicht um die obige, sondern um eine andere Gleichung, bei der ich die Wurzel ziehen müsste, und selber entscheiden könnte, ob ich das mit + & - mache, oder ob ich den Betrag nehme, doch dann habe ich folgendes Problem (hier bitte aufpassen, denn das brauche ich erklärt bekommen): Wenn ich den Weg gehe, dass ich vor einen Term - & + schreibe, und jeweils einmal mit - und einmal mit + ausrechne, dann habe ich ja das Problem, dass ich (wie oben im Bild) eben nicht die Bedingungen habe, wie oben zum Beispiel x muss größer gleich 2 sein. Denn wenn ich nur ein + & - daraufklatsche, hab ich keine einzige Bedingung. Was nun? Was muss ich jetzt tun, denn mein Lehrer hatte mir früher nur gezeigt, dass man + & - davor schreibt, wenn man auf beiden Seiten die Wurzel gezogen hat, und Basta (heißt, keine Bedingung (wie mit x muss größer gleich 2 sein)). Meine Frage ist nun, wie ich eine Gleichung, bei der ich auf beiden Seiten die Wurzel zeihen muss rechnen soll, wenn ich mich dazu entscheide, das nicht mit Betrag, sondern eben mit + & - (ihr kennt es ja) zu machen. Wie rechne ich dann?
Wie man helfen kann wäre, indem man eine schwere Gleichung hat, mit einer geraden Potenz bei einem Term, und dann entsprechend auf beiden Seiten die Wurzel Zieht, und das mit dem - und + danach macht.
2 Antworten
Hast Du eine Betragsgleichung (wie oben in Deiner Frage), dann musst Du natürlich die Fallunterscheidung machen und schauen, was als Lösung in Frage kommt.
Was Dein Bild in der Antwort angeht:
Hier kommst Du links wie rechts erst einmal auf das Zwischenergebnis:
(2x+3)^4=16
Jetzt ziehst Du die 4. Wurzel, ergibt dann rechts (links ist es richtig!)
|2x+3|=2
Jetzt kommt die Fallunterscheidung (Auflösen des Betrags):
1.Fall:
2x+3>0 <=> x>-3/2
2x+3=2
2x=-1
x=-0,5
2.Fall:
2x+3<0 <=> x<-3/2
-(2x+3)=2
-2x-3=2
x=-5/2
In beiden Fällen passt die Lösung zu der jeweiligen Bedingung von x, d. h. natürlich, dass beide Lösungen möglich sind.
Danke danke danke, das heißt, ich kann es also mit dem Betrag machen, und muss dann keine Probe machen, oder ich mache es mit Plus und Minus und mache dann die Probe, weil da nicht immer alle ,,Lösungen'' richtig sind? Also wenn ich das mit Plus und Minus mache, kann es dann sein dass da die Lösungen rauskommen die eigentlich nicht die Lösungen sind? Und wenn ich das mit dem Betrag mache und auch die Bedienungen habe müsste es ja dann immer richtig sein, was rauskommt oder?
Ziehst Du bei Gleichungen mit Unbekannten die Wurzel (2., 4., 6., usw.), dann gibt es immer 2 Lösungen; egal ob Du mit Betragsstrichen oder +/- rechnest (logisch, muss ja letztendlich das gleiche raus kommen).
Die Probe ist dann zwingend nötig, wenn Du zwischendurch quadriert hast, denn Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, da Du damit die Lösungsmenge erweiterst (so wird z. B. aus einem einfachen x, was immer eine Lösung hat ein x², was 2 Lösungen haben kann!). D. h. dann kann es sein, dass eine ermittelte Lösung nicht zur Lösungsmenge gehört!
Man sollte die Probe eigenlich immer sicherheitshalber durchführen, vor allem, wenn man mit einem Thema noch nicht so vertraut ist, oder einfach, um eventuelle Flüchtigkeitsfehler zu entlarven.
Ist quadrieren das einzige, was keine äquiv.. umformung ist, oder gibts noch wat anderet? Und wenn es nicht äquiv..umf... genannt wird, wie dann?
logischerweise ist mit Null multiplizieren keine Äquivalenzumformung; und wenn beim Teilen die Unbekannte mit im Spiel ist muss darauf geachtet werden, dass nicht evtl. durch Null geteilt wird. Beispiel: x²=2x; hier kann man nicht einfach durch x teilen und x=2 als einzige Lösung annehmen, da x=0 auch eine Lösung ist!
Hast Du z. B. (x-2)(x-3)=x-2 und es vorgegeben, dass x=2 nicht zur Definitionsmenge gehört, dann kann einfach durch (x-2) geteilt werden und es bleibt x-3=0 <=> x=3 als Lösung dieser Gleichung übrig.
Weitere nicht äquivalente Umformungen wüsste ich jetzt nicht; da gibt es auch keinen eigenen Namen für; es sind einfach "nicht äquivalente Umformungen".
Hier ist das Bild:
Gutefrage.net nahm er ist nicht an, da es 15 Megabyte hatte und das anscheinend zuviel wäre.
Willst Du es, wie eigentlich üblich (mache ich auch immer so), mit +/- statt mit dem Betrag lösen, dann erhältst Du ja wie im linken Bild nach dem Ziehen der 4. Wurzel aus "(2x+3)^4=16":
2x+3=+-2, das bedeutet, Du hast jetzt 2 Gleichungen:
1. 2x+3=+2 <=> x=-0,5
2. 2x+3=-2 <=> x=-2,5
beides sind Lösungen der Gleichung (um letztendlich sicher zu gehen, kannst Du ja noch die Probe machen, indem Du die Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzt)