Wie prüfe ich die Funktion auf Stetigkeit?
Ich dachte man muss für x = 0 einsetzen.
Also: e^(-1/0)
Aber man kann ja nicht durch 0 teilen ? Kann mir das jemand erklären, bitte.
3 Antworten
Es wird nicht durch 0 geteilt, weil wenn x = 0, dann ist g(x) als 0 definiert.
Du hast eine Funktion, die in zwei Abschnitte gegliedert ist. du musst prüfen, ob der linksseiteige Grenzwert von e^(-1/x) gegen 0 mit dem rechtsseitigen von 0 (konstant) übereinstimmt, mit anderen Worten, ob der linksseitige Grenzwert von e^(-1/x) = 0 ist.
dass e^x und 0 stetig sind, wird wahrscheinlich als gegeben vorausgesetzt. Das musst du nicht zeigen.
Reihenentwicklung von e(-1/x) um x=0, dann für den kleinen Parameter h Grenzwertbetrachtungen machen. Glieder höherer Ordnung verschwinden in der Grenzwertbetrachtung schneller als Glieder niedrigerer Ordnung.
Ich denke, es sollte hierfür ausreichen, wenn du einen betragsmäßig sehr kleinen Wert für x einsetzt, zum Beispiel 0,00001.
Das wären ja dann e^(-1000) = 0.
Aber ist das nicht der gleiche Term wie 1/e^1000? Denn wenn ich da habe komm ich uaf einen mathematischen Fehler.. warum?
Du musst die Stetigkeit im Punkt 0 beweisen. Das bedeutet: Du musst zeigen, dass es zu jeder positiven Zahl ε eine positive Zahl δ gibt, die die folgende Eigenschaft hat:
Ist |x-0| < δ, so ist |g(x)-g(0)| < ε.
(Ginge es nicht gerade um die Stetigkeit im Punkt 0, sondern an einer anderen Stelle a, so müsste hier an den beiden Stellen, wo 0 steht, a stehen.) Natürlich gilt x-0=x und nach Definition von g auch g(x)-g(0) = g(x), denn es ist ja g(0)=0. Daher vereinfachen sich die beiden Betrags-Terme, und man hat zu zeigen:
Beh.: Zu jeder positiven Zahl ε gibt es eine positive Zahl δ, die die folgende Eigenschaft hat: Ist |x| < δ, so ist |g(x)| < ε.
Um das einzusehen, muss man jetzt nicht "ein besonders kleines x einsetzen", sondern abhängig von einer uns völlig unbekannten, aber jedenfalls positiven reellen Zahl ε eine positive Zahl δ angeben (die natürlich in aller Regel von dem gegebenen ε abhängen wird!), so dass für alle x vom Betrag <δ der zugehörige Funktionswert g(x) vom Betrag <ε ist.
Der Beweis einer Aussage, bei der - wie hier - für jedes positive ε etwas nachzuweisen ist, darf natürlich nicht von einem speziellen Wert von ε ausgehen, der einem gerade mal in den Sinn kommt, sondern man darf nur verwenden, dass das jeweilige ε, um das es geht, positiv ist. Mehr weiß man darüber nicht. Ausgangspunkt des Beweises wird also der Satz sein:
Sei ε>0.
Jetzt bist DU am Zuge, denn DU musst jetzt ein δ>0 angeben, für das die angegebene Implikation richtig ist. So ein δ kann man nicht "erträumen", sondern man kann nur darauf kommen, indem man sich jetzt überlegt, was es am Ende zu leisten hat: Sobald x um weniger als das (anzugebende) δ von 0 abweicht, muss gesichert sein, dass sein Funktionswert um weniger als ε von 0 abweicht. Das heißt, für jene x-Werte muss am Ende die folgende Ungleichung stimmen: |g(x)| < ε.
Für negative x-Werte besteht da gar kein Problem, weil für diese ja g(x)=0 gilt, also auch |g(x)| = 0 < ε. Dagegen muss man sich sehr wohl um die positiven x-Werte kümmern, denn deren Bild unter g sieht kompliziert aus: e^(-1/x). Man muss also δ>0 so angeben, dass für jedes x mit 0 < x < δ gilt:
e^(-1/x) < ε.
(Betragsstriche braucht man hier nicht mehr, weil alle Werte der Exponentialfunktion ohnehin positiv sind.) Diese Ungleichung, die ja am Ende erfüllt sein muss, gibt den entscheidenden Anstoß für deine Wahl der Zahl δ. Für welche x ist sie erfüllt? Solange diese x in der verschachtelten Form wie oben vorkommen, sieht man das nicht. Jedoch ist die Ungleichung äquivalent zu : ln (e^(-1/x)) < ln ε, also zu : -1/x < ln ε. Nur wenn das uns nicht bekannte ε kleiner als 1 ist, stellt dies überhaupt eine Bedingung an x dar, denn die betrachteten x-Werte sind ja positiv, die linke Seite also stets negativ, und damit ist die Ungleichung für ε>=1 automatisch erfüllt. Im Falle ε>=1 zeigt sich also, dass man tatsächlich für δ eine beliebige positive Zahl wählen darf. Der Kern der Angelegenheit ist der Fall ε<1. (Im Jargon der Kenner wird das gern so ausgedrückt: "O.B.d.A. dürfen wir annehmen: ε<1" - was heißen soll: "Nur für ε<1 haben wir überhaupt ein Problem"!)
In dem "Kernfall" ε<1 ist ln ε < 0 und damit -1/x < ln ε gleichwertig zu: x < -1/(ln ε).
Wählen wir also irgendein δ mit 0 < δ <= -1/(ln ε), so ist für alle x mit |x| < δ insbesondere auch x < -1/(ln ε) und folglich |g(x)| < ε.
Damit ist die Stetigkeit in 0 bewiesen. Gibt man sich nicht mit dem ganzen Warum und Wieso der Einzelschritte ab und lässt einfach den Satz "Man setze δ := -1/(ln ε)" vom Himmel fallen, was der typische Buchstil wäre, so wäre man natürlich im Nu mit dem Beweis fertig. Nur würde wieder niemand, der die Technik noch nicht kennt, begreifen, woher man ausgerechnet auf dieses δ kommt - und bei der nächsten Stetigkeitsaufgabe erneut wie der Ochs vorm Berg sitzen.
Natürlich geht es auch schneller, wenn man nicht "fußbodenartig" auf die ε-δ-Definition der Stetigkeit zurückgeht, sondern sich auf andere (als bekannt geltende) Eigenschaften beruft. Ein Mathematiker braucht Angeln, keine geschenkten Fische...
Diese Funktion ist abschnittsweise definiert:
In rot das Graphstück für x ≤ 0 (nämlich g(x) = 0), in blau das für x > 0 (nämlich g(x) = exp(-1/x)).
Genau weil du nicht durch 0 teilen kannst, ist die Funktion für x ≤ 0 nicht durch exp(-1/x), sondern durch g(x) = 0 festgelegt. Links von der Null (inklusive der Stelle x = 0) ist der Graph also die rote Nullfunktion, rechts davon die blaue Funktion g(x) = exp(-1/x).
Warum ist diese Funktion nun stetig?Klar ist, dass g für x < 0 und für x > 0 stetig ist. (Warum?)
Nachzuprüfen bleibt also Stetigkeit an der Stelle x = 0. Das Bild suggeriert bereits, wo wir hin wollen: Wir wollen zeigen, dass sich die beiden Graphstücke in x = 0 berühren, d.h. dass wir die Funktion mit einem Stiftstrich durchzeichnen können -- oder mathematischer: Stetigkeit in x = 0.
Hierfür müssen wir
zeigen. Dass links 0 steht, ist klar. Zu zeigen bleibt also, dass
ist. Das ist nun deine Aufgabe.
Und wie mache ich das genau? Ich muss doch immer für x etwas einsetzen oder nicht?