Wie löst man diese Aufgabe zur Integralrechnung?
Hey,
ich schreib demnächst eine Arbeit habe aber immer Probleme bei Aufgaben wo ein Graph gegeben ist und dann fragen zur Ableitung oder Stammfunktion kommen. Kann mir vielleicht jemand weiter helfen mit ein paar Tipps?
3 Antworten
a) Extrem-, Wende-, Nullstellen wirst Du am Graphen ja sicher erkennen können!
b) f ist gegenüber F die Ableitung, d. h. f zeigt die Steigung von F an. Dort, wo Extremstellen sind, ist die Steigung (also Wert der Ableitung) gleich 0. D. h. dort, wo f Nullstellen hat sind mögliche Nullstellen!!! An Extremstellen ändert der Graph seine Richtung von steigend nach fallend bzw. umgekehrt, d. h. für den Ableitungsgraphen, dass dieser die x-Achse schneidet, was hier bei x=ca. -3,5 der Fall ist. Bei x=4 liegt eine doppelte Nullstelle vor; hier wird die Steigung "kurz" Null geht dann immer wieder ins Positive zurück, d. h. hier hat F einen Sattelpunkt (Wendestelle mit Steigung 0).
c) dies ist das Integral von f in den Grenzen 0 bis 4, also die Fläche unter dem Graphen in diesem Intervall. D. h. hier zählst Du die Kästchen...
d) soll die Steigung am Graphen ermittelt werden, dann legst Du am besten ein Lineal oder Stift als Tangente an die gewünschte Stelle und kannst so an dieser Geraden die Steigung "ablesen".
Du musst Dir einige Zusammenhänge von Funktion f und Ableitung f' klar machen: wo bei f die Extremstellen sind, hat f' seine Nullstellen. Wo bei f die Wendestellen sind, hat f' seine Extremstellen, denn an Wendestellen ist die Steigung am größten.
Wenn die x-Achse nicht geschnitten, sondern nur berührt wird, liegt eine 2-,4-,6-, ...-fache Nullstelle vor, ansonsten eine 1-,3-,5-,...-fache.
Notierst Du einen Funktionsterm in Nullstellenform mit Nullstellen bei x1,x2 und x3, dann kannst Du diesen Term schreiben als a*(x-x1)(x-x2)(x-x3). Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennt man an so einem Term am Exponenten. So hätte a(x-x1)(x-x2)²(x-x3)³ bei x1 eine einfache, bei x2 eine doppelte und bei x3 eine dreifache Nullstelle. Setzt Du nun für x einen Wert knapp unter und knapp über x1 (oder x3) ein ändert sich das Vorzeichen von minus nach plus für diese Klammern, d. h. der gesamte Funktionsterm ändert sein Vorzeichen dort, d. h. graphisch, dass die Funktion durch die x-Achse wandert. Bei der mittleren Klammer bleibt aufgrund des geraden Exponenten das Vorzeichen dieser Potenz und somit das des gesamten Terms gleich, d. h. der Graph bleibt auf der Seite auf der er vor der Nullstelle war.
Sorry, aber ich bin 10t Klässler und habe diese Themen NICHT, noch lange NICHT in der Schule behandelt bekommen, stattdessen selbst beigebracht, weil diese ganzen Themen in der Schule alle zu leicht für mich sind, aber diese Aufgaben sind kinderleicht, denn a) Extremstellen d.h. es sind Stellen wo es zu hoch, oder gering ist, also bei den Kurven und das große f ist die Stammfunktion und das f mit dem Strich die Ableitung usw.
Mit den Definitionen der Wörtern bin ich bereits vertraut.
a) Die Extremwerte von f kannst du direkt aus dem Schaubild ablesen (Hochpunkt und Tiefpunkt, Extremstellen sind dann die zugehörigen x-Werte)
b) Extremstelle der Stammfunktion, hier gilt F'(x)=0 also f''(x)=0, also Wendestelle von f
c) F(4)=f'(4)=0 (waagrechte Tangente) ...
d)f'(1) = Tangentensteigung an der Stelle x=1, grapisch ermitteln (Tangente und Steigungsdreieck einzeichnen und damit Steigung ermitteln, fallende Tangente = negative Steigung
Vielen vielen dank. Ja die a konnt ich schon ablesen. Was ich noch nicht ganz versteh ist wie ich die Doppelte Nullstele bei 4 erkennen