Wie löse ich diese Gleichung?
Hi. Ich verstehe nicht, wie ich hier auf die Lösung kommen kann. Das Beispiel lautet:
(x+1)•(x²+4x+4)=0
Man soll es mit dem Produkt-Null-Satz lösen. Bei der ersten Klammer ist es mir noch klar, dass x1 gleich -1 sein muss. Bei der zweiten Klammer hätte ich jetzt die Kleine Lösungsformel verwendet, die liefert mir dann jedoch 2 weitere Lösungen. Im Lösungsheft steht aber, dass die Lösungsmenge {-1;-2} ist. Also wie komme ich zu dem Ergebnis?
4 Antworten
Für den zweiten Teil davon x² + 4x + 4 = 0 musst Du wohl die 1. binomische Formel nutzen.
Tatsächlich ist die Formel davon α² + 2αβ + β², wobei α = x und β = 2 ist. Davon bekommst Du ( x + 2 )² = 0 und eine doppelte Nullstelle von x = -2. 😊
Daher sind die Lösungen x = -2 und x = -1. :))
Die Lösungsformel liefert dir in diesem Fall die Doppellösung -2 (das hättest du auch mit der 1. binomischen Formel erkennen können).
Somit folgt aus der ersten Klammer die Lösung -1, und aus der zweiten Klammer die Lösung -2.
Insgesamt ist daher L = {-1; -2}.
Du brauchst für die 2. Klammer nicht die "kleine Lösungsformel" (ich vermute du meinst damit die pq-Formel?). Verwende die erste binomische Formel.
Wenn die quadratische Gleichung nur eine reelle Lösung hat, trägt sie auch nur ein Element zur Lösungsmenge bei.
Für Leute, die bei Polynomnullstellen Vielfachheiten zählen, gilt: Eine mehrfach vorkommende Nullstelle geht nur einmal in die Lösungsmenge ein. (Es ist eine grundlegende Eigenschaft von Mengen, dass in einer Menge keine Duplikate vorkommen können.)