Wie leitet man Wurzeln ab?
Bspw: die Rechnung im Anhang. Das ist weder Hausaufgabe noch erwarte ich dass man sie löst. Sie dient als
Beispiel da ich generell nicht weiß wie man vorgeht.
![- (Schule, Mathematik, Analysis)](https://images.gutefrage.net/media/fragen/bilder/wie-leitet-man-wurzeln-ab/0_big.jpg?v=1509229184000)
4 Antworten
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Die n. Wurzel aus einem Argument α - das kann x sein, muss es aber nicht, auch komplexere Ausdrücke sind möglich - lässt sich als
β := α^{1/n}
schreiben, da es ja das Potenzgesetz
(b^{ξ₁})^{ξ₂} = b^{ξ₁ ⋅ξ₂}
('b' für 'Basis,' ξ' für 'Exponent') gibt, wonach eben
βⁿ = (α^{1/n})ⁿ = α^{n⋅(1/n)} = α^{1} = α
ist. Im Definitionsbereich (außer am Rand) greift hier tatsächlich die Ableitungsregel für Potenzfunktionen, d.h.
β'(α) = (1/n)⋅α^{1/n – 1} = (1/n)⋅α^{–(n–1)/n}
und, wenn β(x) abgeleitet werden soll,
β'(x) = (α'(x)/n)⋅α^{–(n–1)/n}
(Kettenregel), beispielsweise
f(x) = 1/√{1 – x²}, x<1
f'(x) = –2x/√{1 – x²}³
(ein Beispiel aus der Relativitätstheorie, wobei x für (v/c) steht).
In Deinem Beispiel ist die erste Antwort richtig, denn
4/√{x} = 4⋅x^{–½}
ergibt abgeleitet
4⋅(–½)⋅x^{–(3/2)} = 2⋅x^{–(3/2)}.
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Ein Potenzgesetz lautet, wie gesagt,
(b^{ξ₁})^{ξ₂} = b^{ξ₁ ⋅ξ₂},
ein anderes, das auch viel auftritt,
b^{ξ₁}·b^{ξ₂} = b^{ξ₁ + ξ₂}.
Damit ist dann auch
b^{ξ₁}/b^{ξ₂} = b^{ξ₁ – ξ₂}.
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Hallo 02567
Schreib die Wurzeln in Potenzform um: f(x) = x^(2/3) + 4*x^(-1/2). Dann leitest du nach der Formel d(x^n)/dx = n*x^(n-1) ab:
f'(x) = (2/3)x^(2/3 -1) + 4*(-1/2)x^(-1/2 -1) = (2/3)x^(-1/3) - 2x^(-3/2) =
= (2/3)/x^(1/3) -2/x^(3/2);
Die erste Antwortmöglichkeit ist also richtig. Die gewohnte Schreibweise für "dritte Wurzel aus" und "Quadratwurzel aus x³ " ist hier leider nicht möglich.
Dein Rechnungsweg ist ab der 3. Zeile falsch. Wenn du 1/x^(1/2) ausklammern willst, dann muss es als Faktor vor einer Klammer stehen und nicht einfach so beim zweiten Term (4) verschwinden. Dadurch würde aber das Ableiten keineswegs erleichtert.
Es grüßt HEWKLDOe.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/FelixFoxx/1444749287_nmmslarge.jpg?v=1444749287000)
sqrt(x)=x^(1/2)
3. Wurzel(x²)+4/sqrt(x)=x^(2/3)+4 * x^(-1/2)
Dies lässt sich leicht ableiten
f'(x)=2/3 * x^(-1/3)+4 * (-1/2) * x^(-3/2)
=2/(3 * 3. Wurzel(x)) -2/sqrt(x³)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/4_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Ich habe in den Antworten ein Foto meines Rechnungsweges gepostet. Kannst du dir das mal anschauen?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MarkusGenervt/1522121044131_nmmslarge__0_0_256_256_fb5dc5ef4d72bc83b4476f60739c3ee3.png?v=1522121046000)
Form doch mal die Wurzel in einen normalen Exponenten um.
³√(x²) = x^(⅔)
(sorry geht gerade nicht besser zu schreiben)
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Ich habe in den Antworten ein Foto meines Rechnungsweges gepostet. Kannst du dir das mal anschauen?
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OI WEI !!! ๏̯͡๏ Das ist ja schon wieder Murks & Mulle!
Seit wann werden Exponenten so summiert? Wie kommst Du auf den 3. Rechnungsschritt?
Mal ganz abgesehen davon:
Wenn: 1/x² = x⁻² v
√x = x
^(½)
Dann: 4/√x = 4x^(-½)
Also nochmal im Detail:
f(x) = x^(⅔) + 4 · x^(-½)
f’(x) = ⅔ · x^(⅔
- 1) +
4 · (-½) ·
x^(-½ - 1)
= ⅔ · x^(-⅓) – 2 ·
x^(
-³/₂)
Ist Dir jetzt die Lösung klar?
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Ich habe in den Antworten ein Foto meines Rechnungsweges gepostet. Kannst du dir das mal anschauen?