Wie Leite ich die Formel für t_∞ her?

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe!

Wäre sehr hilfreich, danke in Voraus.

Vollständige Aufgabe (Aufgabe 4 ist gefragt):

Comments

[mihisu]

In welchem Zusammenhang? Also wie ist t_∞ hier definiert?

[Lenny395]

Es bezieht sich auf die Formel von t_∞. t_∞ steht für die theoretisch erwartete Zeit (speziell in der Aufgabe davor bis ein Ball zu Ruhe kommt). Ich hoffe das hilf.

[Jangler13]

Kannst du bitte den Vollständigen Kontext hochladen? Also auch die 3 vorherigen Aufgaben sowie der beitext? Denn das ist mit Sicherheit nicht das einzige, was da steht.

[Lenny395]

Ich habe jetzt das vollständige Aufgabenblatt hinzugefügt.

[mihisu]

„speziell in der Aufgabe davor bis ein Ball zu Ruhe kommt“

Könntest du dann bitte genauer schreiben, was in der Aufgabe davor gefragt wurde? Das ist ja offensichtlich hier relevant.

[Lenny395]

Jo sorry. Ich habe das vollständige Aufgabenblatt hinzugefügt.

Answer 1

[mihisu]

======Weitere Hinweise, die die anleiten sollen======

Hinweis 1:

Mit dem Wirkungsgrad λ erhält man für zwei aufeinanderfolgende Höhen (Maximalhöhen zwischen den Bodenkontakten sind gemeint)...

$h_{k+1}=\lambda \cdot h_{k}$

[Das solltest du schon für Teilaufgabe b) genutzt haben.]

Vollziehe nach, dass damit dann

$h_{k}=\lambda^k\cdot h_0$

ist.

Hinweis 2:

Zeige, dass für die Zeit zwischen zwei Bodenkontakten gilt...

$t_{k}=\sqrt{\frac{8\cdot h_{k}}{g}}$

Denke dafür daran, dass beim freien Fall für die Fallzeit t und die Fallhöhe h gilt...

$h=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$

Und bedenke auch, dass zwischen zwei Bodenkontakten der Ball einerseits die vom Boden aus die Höhe hₖ erreichen muss, und andererseits dann wieder aus der Höhe hₖ auf den Boden herabfallen muss.

Hinweis 3:

Addiere die Zeiten der Bodenkontakte. Vergiss dabei auch nicht die Zeit von der Ursprungshöhe bis zum ersten Bodenkontakt.

Forme dass dann um (und nutze dabei den Hinweis mit der geometrischen Reihe), bis die gewünschte Form erreicht ist.

======Lösungsvorschlag zum Vergleich======

============

Bei einem freien Fall aus einer Höhe h erreicht man nach einer gewissen Zeit t den Boden. Dabei gilt:

$h=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2$

$\rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$

Die gleiche Zeit wird umgekehrt benötigt um bei einem senkrechten Wurf nach oben, die Höhe h zu erreichen.

Wenn nun also zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bodenkontakten im Scheitelpunkt die Höhe h erreicht wird, vergeht zwischen den beiden Bodenkontakten die Zeit...

$2t=2\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}=\sqrt{4\cdot \frac{2\cdot h}{g}}=\sqrt{\frac{8\cdot h}{g}}$

Nun hat man einen Wirkungsgrad von λ für jeden Bodenkontakt. D.h. die Energie des Balls verringert sich bei jedem Bodenkontakt und beträgt danach nur noch das λ-fache des vorigen Energiewerts. Wenn man die (maximale) Höhe zwischen dem k-ten und (k+1)-ten Bodenkontakt mit hₖ bezeichnet, so erhält man durch Vergleich der potentiellen Energien in den Scheitelpunkten...

$E_{\text{pot}, k+1}=\lambda \cdot E_{\text{pot}, k}$

$\rightarrow\quad m\cdot g\cdot h_{k+1}=\lambda\cdot m\cdot g\cdot h_{k}$

$\rightarrow\quad h_{k+1}=\lambda\cdot h_{k}$

Wenn man das nun auf die Anfangshöhe h₀ zurückrechnet, erhält man...

$h_1=\lambda \cdot h_0$

$h_2=\lambda \cdot h_1=\lambda \cdot \lambda \cdot h_0=\lambda^2\cdot h_0$

$h_3=\lambda \cdot h_2=\lambda \cdot \lambda^2 \cdot h_1=\lambda^3\cdot h_0$

$h_4=\lambda \cdot h_3=\lambda \cdot \lambda^3 \cdot h_0=\lambda^4\cdot h_0$

[...]

$h_k=\lambda^{k} \cdot h_0$

Nun erhält man die gesuchte Zeit t_∞, indem man die folgenden Einzelzeiten summiert...

• die Zeit t₀ = √(2⋅h₀/g) = 1/2 ⋅ √(8⋅h₀/g) von der Anfangshöhe bis zum ersten Bodenkontakt
• die Zeit t₁ = √(8⋅h₁/g) zwischen dem ersten und dem zweiten Bodenkontakt
• die Zeit t₂ = √(8⋅h₂/g) zwischen dem zweiten und dem dritten Bodenkontakt
• die Zeit t₃ = √(8⋅h₃/g) zwischen dem dritten und dem vierten Bodenkontakt
• die Zeit t₄ = √(8⋅h₄/g) zwischen dem vierten und dem fünften Bodenkontakt
• [...]

Damit erhält man dann...

$t_\infty =t_0+t_1+t_2+t_3+t_4+\ldots$

$t_\infty =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot h_1}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot h_2}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot h_3}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot h_4}{g}}+\ldots$

$t_\infty =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot \lambda^1\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot \lambda^2\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot \lambda^3\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\frac{8\cdot \lambda^4\cdot h_0}{g}}+\ldots$

$t_\infty =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\lambda}^1\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\lambda}^2\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\lambda}^3\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\sqrt{\lambda}^4\cdot\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}+\ldots$

$t_\infty =\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}\cdot\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\lambda}^1+\sqrt{\lambda}^2+\sqrt{\lambda}^3+\sqrt{\lambda}^4+\ldots\right)$

Nun kommt die Formel für die geometrische Reihe aus dem Hinweis ins Spiel.

$t_\infty =\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{\lambda}}{1-\sqrt{\lambda}}\right)$

$t_\infty =\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}\cdot\left(\frac{\sqrt{\lambda}}{1-\sqrt{\lambda}}+\frac{1}{2}\right)$

$t_\infty =\sqrt{\frac{8\cdot h_0}{g}}\cdot\left(\frac{\sqrt{\lambda}}{1-\sqrt{\lambda}}+0\text{,}5\right)$

Comments

[Lenny395]

Vielen Dank,
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