Wie lässt sich der Konvergenzradius dieses Integrals abschätzen?
gegeben ist eine holomorphe Funktion auf C ohne +/- i
gezeigt werden soll, dass der KR größer gleich 2 und die Taylorreihe um den Punkt 1 bestimmt werden
Mit Cauchy Integralformel die Koeffizienten der Reihe und somit den Radius bestimmen
1 Antwort
Da das Nennerpolynom bei z = +/- i Nullstellen hat, wird die Taylor-Reihe um z_0 = 0 wohl nur für |z| < r = 1 konvergieren…
Sorry, hab gerade gelesen, dass um 1 entwickelt werden soll… :-) Kann aber eigentlich nicht sein, dass der Konvergenzradius bei Entwicklung um z_0 = 1 r = 2 betragen soll - die Entfernung von z_0 = 1 bis zum Pol bei z = i beträgt gerade Sqrt(2), dann würde sich die Reihe über den Pol hinaus entwickeln lassen…
Ich würde das nicht mit der Cauchy-Formel machen, sondern
z^2 + 1 = (z - i)*(z + i) = ((z - 1) - (i - 1))*((z - 1) + (i + 1))
schreiben, dann eine Partialbruch-Zerlegung durchführen und die zwei Einzelterme in geometrische Reihen von z - 1 entwickeln. Wahrscheinlich muss noch durch 2 dividiert werden, damit die geometrische Reihe mit dem Faktor q innerhalb des Konvergenzradius r konvergiert…
Ich erhalte als Partialbruchzerlegung 2z-2i/(z-i)+2i/(z+i)-4 ist dies korrekt, wenn ja wie geht es weiter?
Die Partialbruchzerlegung muss aber anders aussehen:
1/(((z - 1) - (i - 1))*((z - 1) + (i + 1))) = A/((z - 1) - (i - 1)) + B/((z - 1) + (i + 1))
Ich hab jetzt aber keine Lust, das alles nachzurechnen; danach dann jedenfalls die 2 Einzelterme in geometrische Reihen mit Faktor q = (z - 1) entwickeln…
Und wie sieht es mit der Entwicklung der Potenzreihe aus?