Wie komme ich anhand dieser Information auf die richtige Funktion?
4 Antworten
Skizziere für jede der Funktionen zunächst die erste, dann die zweite Ableitung.
Dann schau, welche den Anforderungen entspricht.
Die Funktion ist für x<4 konkav und für x>4 konvex. Folglich ist es Graph A.
Die zweite Ableitung gibt die Krümmung eines Graphen an: f''<0 => rechtsgekrümmt; f''>0 => linksgekrümmt.
D. h. in diesem Fall ist der gesuchte Graph für x<4 rechtsgekrümmt und für x>4 linksgekrümmt.
Bist Du mal unsicher, wann links- bzw. rechtsgekrümmt, leite einfach kurz im Kopf die Normalparabel f(x)=x² zweimal ab, ergibt f''(x)=2. D. h. f''>0 und die Normalparabel ist bekanntlich linksgekrümmt...
Du könntest jede der dargestellten Funktionen die erste und zweite Ableitung zeichnen (lassen) und diese dann mit der oben genannten Bedingung abgleichen.
Mit einfachen Überlegungen kann man die Übrigen auch per Ausschlussverfahren rauswerfen:
Wenn du D zwei mal ableitest kommt ein Polynom zweiten Grades heraus. Das kann (auf dem gesamten Definitionsgebiet, angenommen: reelle Zahlen) niemals links nur negativ und rechts nur positiv sein. Erinnere dich daran, wie eine Parabel aussieht.
Bei C haben wir es mit einem Sattelpunkt zu tun. Die erste Ableitung ergibt eine nach unten geöffnete Parabel, die nur im Scheitelpunkt die x-Achse berührt. Welchen Steigungsverlauf hat diese Parabel? Richtig: positive Steigung für x<4 und negative Steigung für x>4.
B ist ein ganz ähnliches Polynom wie bei C. Die erste Ableitung ist ebenso eine nach unten geöffnete Parabel.