Wie kann man Komplexe Zahlen verstehen?
Ich habe mich mit den Komplexen Zahlen beschäftigt und versuche Sie logisch nachzuvollziehen. Sie werden oft als Tupel gennant. Also a*(1;0)+b*(0;1) . Und i*i= -1 .
Aber wie kann man sich das logisch erklären. Sowohl im Verständnis als auch in der Geometrie. Weil für mich ist es nicht sinnvoll das zwei Tupel miteinander multipliziert -1 ergeben. Bei allen anderen Zahlen macht es Sinn. 3 Äpfel + 3Äpfel sind gleich 6 Äpfel.
Danke für die Hilfe
2 Antworten
Stell dir mal das zweidimensionale Koordinatensystem vor. Oder zeichne es. Die x-Achse soll unsere sog. Realteil-achse sein und die x-Achse ist die Imaginärteil-achse. Eine komplexe Zahl a + ib mit der imaginären Einheit i kann man nun mit einem Tupel (a, b) identifizieren.
Dieses Tupel entspricht einem Punkt im Koordinatensystem, nämlich dem Punkt mit den Koordinaten (a | b).
Die Verknüpfungen wie + und • haben dann in dieser Anschauung eine bestimmte Bedeutung, die ich aber auch nicht komplett auswendig kenne.
Vielleicht hilft dir das etwas. Dass i*i = -1 geben soll, ist schwierig vorzustellen. So etwas tritt in unserer alltäglichen Welt nicht direkt wahrnehmbar auf. (Theoretisch aber schon, da es z.B. in physikalischen Berechnungen vorkommt.)
Eine kurze Erklärung:
In den reellen Zahlen kann man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen. Das führt dazu, dass Gleichungen wie x^2 + 1 = 0 nicht lösbar sind.
Und das ist "schlecht", weil diese Gleichungen in der mathematischen Theorie und in Anwendungen (z.B. Elektrotechnik, Schwingungen, ...) durchaus auftreten.
Insofern möchte man gerne den Zahlenbereich so erweitern, dass man auch aus negativen Zahlen die Wurzeln definieren kann. Interessanter Weise braucht man nicht jeweils ein neues Symbol für jede mögliche Wurzel, sondern muss nur i*i = -1 definieren und kann schon aus jeder negativen Zahl eine Wurzel ziehen, z.B.: 2i und -2i sind Wurzeln von -4.
Man kann das Ganze mit einem Blick auf die historische Entwicklung und mit mehr Beispielen natürlich noch ausführlicher erklären.
Ok Danke. Ich würde das gerne ausführlicher verstehen. Es macht natürlich Sinn das einen Variable i mal i =-1 ist. Aber ich bin mir sicher das auch eine Logik vorhanden ist. Kennst du gute Quellen wo ich es ausführlicher nachvollziehen kann?
Hm, ich würde da in die nächste Universitätsbibliothek gehen und am Regal über Algebra schauen oder in Einführung-Lehrbücher zur Analysis. Hinten in den Büchern gibt es oft ein Sachverzeichnis. Dort würde ich nach "Komplexe Zahlen" suchen.
Bestimmt findet sich auch einiges darüber im Internet. Vielleicht ist Wikipedia hier brauchbar für einen Überblick?
Auf welchem Niveau ist denn dein aktuelles Verständnis? Man kann da fast beliebig tief ins Detail gehen. Algebraisch gesehen sind die komplexen Zahlen eine Körpererweiterung der reellen Zahlen. Man kann auch die komplexen Zahlen als Vektorraum über den reellen Zahlen auffassen. Dieser hat Dimension 2, deshalb auch die anschauliche Entsprechung mit dem zweidimensionalen Koordinatensystem. Um so etwas zu verstehen, braucht man aber schon viel Hintergrundwissen.
Ich bin grade im ersten Semester Elektrotechnik und beginne die Komplexen Zahlen zu verstehen.
Ah, okay. Dann hast du ja schon etwas Grundwissen. Dann wären vielleicht Lehrbücher für Veranstaltungen wie Analysis 1 gut geeignet. Dort sollte es zumindest ein Kurzes Kapitel über komplexe Zahlen geben. In der Algebra behandelt man dann u.a. Körperweiterungen, von denen die Erweiterung von R nach C dann ein gutes Beispiel wäre.
https://www.youtube.com/watch?v=T647CGsuOVU&list=PL99NyHDdRxQvHKwCQjKA_iGD_3KHEQvTC
Diese Youtube reihe hat mir sehr geholfen im verständniss der kompelxen zahlen. Ich hatte sie mir vor ner weile nur mal angesehen weil ich sehen wollte wie x² als kompelxe funktion aussieht.
Danke für diesen Tipp. Kann ich dir eine Frage zum Video stellen ?
Klar. Ist aber schon ein wenig her das ich es gesehen habe. Ob ich sie beantworten kann ist ne andere frage. XD
Da es sowas nicht gibt und man sich das auch nicht verstehen kann, nennt man den zweitel Teil auch Imaginärteil. i ist imaginär, also stellt man sich das nur vor, ohne es mit der Realität in Einklang zu bringen.
Achso ich dachte man kann es auch mit der Realität erklären wenn man auch Tupel für komplexe Zahlen verwendet.
Nein, es ist etwas anderes, als z. B. in einem Koordinatensystem. Da hat der x- und y-Wert ja eine nachvollziehbare Bedeutung.
Aber im Koordinatensystem kann man Sie nicht miteinander multiplizieren . Wenn ich es richtig verstanden habe. Mir gehts nur um die geometrische Multiplikation.
Man kann im Koordinatensystem auch eine Multiplikation definieren, das ist nur soweit ich weiß, kein Schulstoff mehr.
Bin an der Uni . Aber nicht reine Mathemathik.
Danke für die Hilfe. Ich kann aber nicht nachvollziehen das man solche Tupel verwendet ,wenn man es sich fast gar nicht vorstellen kann. Irgendwer muss ja auf die Komplexen Zahlen gekommen sein mit einer logischen erklärung.