Komplexe Zahl multipliziert mit seiner konjungiert komplexen Zahl?
Hey,
ich habe folgende Aufgabe: Es gilt z = 3 + 2i, berechnen Sie z * z* (z* ist die konjungiert komplexe Zah von z)
Normal würde ich jetzt hingehen z* bestimmen, was ja: z* = 3 - 2i
also wäre z * z* = (3 + 2i) * (3 - 2i) = 9 - 4i² = 9 + 4 = 13.
So in der Musterlösung steht allerdings 2Re{Z} = 6
was ist nun richtig? Ich versteh wie die Lösung zu verstehen ist. 2 mal den Realteil, welcher 3 ist und dann hat man halt 6 und der komplexe Teil hebt sich ja weg (2-2 = 0)
Aber so kann doch man doch nicht rechnen oder hab ichs nicht verstanden?
Danke schön :-)
4 Antworten
Das ist im Prinzip die 3. binomische Formel.
Du hast richtig gerechnet. Die Musterlösung bezieht sich auf die Addition einer komplexen Zahl und ihrer komplex konjugierten.
Es gelten folgende Beziehungen, die sich durch ausmultiplizieren verifizieren lassen:
(i) z * conj(z) = |z|^2
(ii) z + conj(z) = 2*Re(z)
(iii) z - conj(z) = 2i * Im(z)
Mit z = a + i*b gilt dabei:
conj(z) = a - i*b
Re(z) = a
Im(z) = b
Damit lässt sich deine Aufgabe einfach lösen ...
Das hast du richtig erkannt. Die Aufgabe verlangt nach dem Produkt von z und conj(z). Die Musterlösung zeigt jedoch z + conj(z). Es liegt also ein Fehler in der Musterlösung vor.
ah ok. ich habe es so gelesen, als seien das drei Formeln für die Multiplikation und nicht (i) Multiplikation (ii) Addition (iii) Subtraktion...
Ok, dann wurde wohl in der Musterlösung fälschlicherweiße addiert und nicht multipliziert.
(i) ist ja die 3. Binomische Formel mit i² = -1
Dir formel für die Multiplikation einer Komplexen Zahl mit ihrem komplex komjugieren lautet:
wenn ich die Aufgabe nach (i) berechne habe ich: |z| = 9 + 4 = 13^(1/2)
was quadriert natürlich 13 ist.
wenn ich sie nach (ii) berechne: 3 + 2i + 3 - 2i = 2*Re(z) = 6
Das sind doch zwei verschiedene Ergebnisse!