Wie kann man die Steigung einer quadratischen Funktion bestimmen?
Ich muss bis morgen die Steigung der quadratischen Funktion
y = x²
bestimmen und habe keine Ahnung wie das geht.
Ich weiß dass das ganze etwas mit Ableitungen, der Sekante und der Tagente zu tun hat aber was es genau mit den Begriffen auf sich hat weiß ich leider überhaupt nicht. :(
Wäre wirklich sehr nett wenn mir das jemand erklären könnte. Ich habe schon im Internet nach einer geeigneten Seite gesucht aber dort bin ich leider auch nicht schlauer als vorher geworden.
4 Antworten
Die Steigung der Funktion
(1) y(x) = x²
ist natürlich nicht konstant; Du kannst aber die Steigung der Funktion in Abhängigkeit von x bestimmen, die sogenannte Ableitungsfunktion
(2.1) y'(x) = 2x.
Als Ableitung der Funktion in einem Punkt x=x₁,
(2.2) y'(x₁) = 2x₁,
bezeichnen wir die Steigung der Tangente, welche die als Graph der Funktion fungierende Parabel im Punkt
(3) (x₁ ¦ y₁) := (x₁ ¦ y(x₁)) =(hier)= (x₁ ¦ x₁²)
berührt. Das setzt natürlich voraus, dass diese Tangentensteigung überhaupt existiert, was hier überall (d.h. für alle x) der Fall, aber nicht für alle Funktionen garantiert ist.
Die Tangentensteigung ist der Grenzfall h→0 einer Sekantensteigung einer Geraden, die die Parabel in den Punkten
(4.1) (x₁ ¦ y(x₁)) und (x₁+h ¦ y(x₁+h))
schneidet, hier also
(4.2) (x₁ ¦ x₁²) und (x₁+h ¦ (x₁+h)²).
Diese Steigung ist
(5.1) [y(x₁+h) – y(x₁)]/h,
hier konkret
(5.2) [(x₁+h)² – x₁²]/h = (2x₁h + h²)/h = 2x₁ + h,
und da h aus dem Nenner raus ist, kann man es gegen 0 gehen lassen und erhält 2x₁, also (2.1). Da dies unabhängig vom konkreten Wert von x₁ gilt, ergibt sich (2.2) als Ableitungsfunktion.
Dieses Prinzip lässt sich auf alle Potenzfunktionen anwenden (wobei alles, was h oder gar höhere Potenzen enthält, beim Grenzübergang wegfällt) und ergibt eine allgemeine Ableitungsregel für Potenzfunktionen:
(6) y = x^{n} ⇒ y' = n·x^{n–1}.
Die Steigung ist die einer Tangente, die man an einem Punkt x an die Parabel legt. Da man diese Steigung bzw. diese Funktion nicht kennt, zieht man eine Gerade durch zwei bekannte Punkte der Parabel - das ist dann eine Sekante und aus den zwei Punkten kann man dann auch eine Steigung berechnen.
Die Steigung stimmt natürlich nicht genau mit der Steigung an dem gewünschten Punkt überein, deshalb läßt man die beiden x Werte der zwei Punkte zu dem gewünschten x-Wert hin wandern (Grenzwertbetrachtung). Dadurch wird die Steigung immer genauer, bis man am Ende die Steigung im gesuchten Punkt x hat.
Einfacher geht es mit der Ableitung, die ist hier schlicht y=|2x|, die Steigung im Punkt 2 ist also bspw. 4
dankeschön :) aber kannst du das mit der Grenzwertbetrachtung noch mal etwas genauer erklären
Das ist mit Text schwierig zu machen. Schau doch mal bitte bei Wikipedia, da ist das sehr gut - sogar mit Animationen - erklärt: https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung
Das zweite Bild unter "Differenzierbarkeit" zeigt es sehr schön.
Lieber Albert!
Du berechnest die erste Ableitung der Funktion und das ist dann die Steigung an der entsprechenden Stelle.
Wenn du wissen willst, was Ableitung und Steigung miteinander zu tun aben, dann recherchiere mal "Differenzenquotient".
Nein, sie ist hier
y' = 2x.
Mit y war ja die Funktion selbst bezeichnet worden, und die Betragsstriche sind Mumpitz.