Wie kann man die Steigung einer quadratischen Funktion bestimmen?

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Die Steigung der Funktion

(1)    y(x) = x²

ist natürlich nicht konstant; Du kannst aber die Steigung der Funktion in Abhängigkeit von x bestimmen, die sogenannte Ableitungsfunktion

(2.1)    y'(x) = 2x.

Als Ableitung der Funktion in einem Punkt x=x₁,

(2.2)    y'(x₁) = 2x₁,

bezeichnen wir die Steigung der Tangente, welche die als Graph der Funktion fungierende Parabel im Punkt

(3)    (x₁ ¦ y₁) := (x₁ ¦ y(x₁)) =(hier)= (x₁ ¦ x₁²)

berührt. Das setzt natürlich voraus, dass diese Tangentensteigung überhaupt existiert, was hier überall (d.h. für alle x) der Fall, aber nicht für alle Funktionen garantiert ist.

Die Tangentensteigung ist der Grenzfall h→0 einer Sekantensteigung einer Geraden, die die Parabel in den Punkten

(4.1)    (x₁ ¦ y(x₁)) und (x₁+h ¦ y(x₁+h))

schneidet, hier also

(4.2)    (x₁ ¦ x₁²) und (x₁+h ¦ (x₁+h)²).

Diese Steigung ist

(5.1)    [y(x₁+h) – y(x₁)]/h,

hier konkret

(5.2)    [(x₁+h)² – x₁²]/h = (2x₁h + h²)/h = 2x₁ + h,

und da h aus dem Nenner raus ist, kann man es gegen 0 gehen lassen und erhält 2x₁, also (2.1). Da dies unabhängig vom konkreten Wert von x₁ gilt, ergibt sich (2.2) als Ableitungsfunktion.

Dieses Prinzip lässt sich auf alle Potenzfunktionen anwenden (wobei alles, was h oder gar höhere Potenzen enthält, beim Grenzübergang wegfällt) und ergibt eine allgemeine Ableitungsregel für Potenzfunktionen:

(6)    y = x^{n} ⇒ y' = n·x^{n–1}.


Die Steigung ist die einer Tangente, die man an einem Punkt x an die Parabel legt. Da man diese Steigung bzw. diese Funktion nicht kennt, zieht man eine Gerade durch zwei bekannte Punkte der Parabel - das ist dann eine Sekante und aus den zwei Punkten kann man dann auch eine Steigung berechnen.

Die Steigung stimmt natürlich nicht genau mit der Steigung an dem gewünschten Punkt überein, deshalb läßt man die beiden x Werte der zwei Punkte zu dem gewünschten x-Wert hin wandern (Grenzwertbetrachtung). Dadurch wird die Steigung immer genauer, bis man am Ende die Steigung im gesuchten Punkt x hat.

Einfacher geht es mit der Ableitung, die ist hier schlicht y=|2x|, die Steigung im Punkt 2 ist also bspw. 4


SlowPhil  13.09.2017, 16:00
Einfacher geht es mit der Ableitung, die ist hier schlicht y=|2x|

Nein, sie ist hier

y' = 2x.

Mit y war ja die Funktion selbst bezeichnet worden, und die Betragsstriche sind Mumpitz.

joangf  13.09.2017, 22:06
@SlowPhil

Stimmt, die Betragsstriche waren Unsinn. Wie kam ich nur da drauf? ;)

Einstein1902 
Beitragsersteller
 13.09.2017, 15:52

dankeschön :) aber kannst du das mit der Grenzwertbetrachtung noch mal etwas genauer erklären

Wenn du wissen willst, was Ableitung und Steigung miteinander zu tun aben, dann recherchiere mal "Differenzenquotient".