Wie kann man die Nullstellen berechnen wenn der Exponent von x höher ist als 2 z.b.:x^6+5x^5-8x^4-48x^3. Ich bitte um schnelle Antwort!Danke;) ?
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3 Antworten
Hallo,
in diesem Fall kannst Du erst einmal x^3 ausklammern, was das Problem auf ein Polynom dritten Grades reduziert. Das kannst Du mit Hilfe der Cardanischen Formel oder mit einem Näherungsverfahren wie dem Newton-Verfahren oder durch Erraten einer Nullstelle mit anschließender Polynomdivision lösen.
Für Polynome höher als Grad 4 und einem absoluten Glied gibt es dagegen keinen Lösungsalgorithmus. Hier helfen nur noch Näherungsverfahren und die Reduzierung auf Polynome niedrigeren Grades durch Polynomdivision.
Zum Beispiel ax^5+x^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 ist auf triviale Art nicht lösbar.
Für Polynome dritten und vierten Grades dagegen gibt es Lösungsalgorithmen (Cardanische Formeln) die Kenntnisse im Umgang mit komplexen Zahlen erfordern.
Herzliche Grüße,
Willy
Mein Problem ist wir haben im Unterricht noch nicht diese Cardanische Formel gemacht aber trz vielen dank
Bevor Du diese Form findest, mußt Du aber eine Nullstelle entweder berechnen oder erraten und dann durch den Term x minus Nullstelle teilen.
Wenn Du also x³ ausgeklammert hast:
x³*(x³+5x²-8x-48), was schon mal die Nullstelle x=0 ergibt und für den Term in der Klammer die Nullstelle bei x=3 erraten hast, kannst Du x³+5x²-8x-48 durch (x-3) teilen und bekommst so
x²+8x+16 heraus, was Du nach der ersten binomischen Formel in (x+4)² umwandeln kannst.
So bekommst Du endlich eine Form, in der Du alle Nullstellen direkt ablesen kannst:
x³*(x-3)*(x+4)²
Die Cardanische Formel wirst Du in der Schule wohl auch nicht kennenlernen. Die mußt Du Dir selbst erarbeiten. Es gibt im Internet Erklärungen, die aber nicht immer leicht zu verstehen sind.
Die beste Erklärung gibt es in der Formelsammlung von Papula.
Willy
Vielen Dank! Letzte Frage, wie kann ich ihnen nun die hilfreichste Antwort geben?
Bekommst Du in den nächsten Tagen von GF angeboten. Die Antwort von kindgottes92 ist aber auch sehr gut, wie ich finde.
Ja aber sie haben sich zuerst gemeldet und sie haben sich echt viel Zeit genommen vielen Dank;)
alles klar vielen dank dies geht nur mit polynomdivision und wie kann ich ihnen die hilfreichste Antwort geben;)Wir haben Polynomdivision nicht gemacht und in meinem Lehrbuch stand die Lösung auch folgend:
(x^4-3x^3)*(x+4)^2
Mir ist dann grade aufgefallen, dass man doch eig ganz einfach ablesen kann also die Nullstellen betragen doch dann X=3 und X=-4, diese Lösungen entsprechen auch denen die meine Lehrerin mir gegeben hat, bei ihrer Lösung war nur noch eine Nullstelle X=0 diese habe ich aber nicht erkannt wo kann ich die sehen Danke
In dem Fall kannst du x erstmal ausklammern (bzw. hier sogar x³):
0=x³(x³ + 5x² - 8x - 48).
Damit hast du deine Erste Nullstelle bei x=0, da die rechte Seite 0 wird, sobald x³ null ist.
danach musst du nur noch mit dem Inhalt der Klammer weiterrechnen:
0= x³ + 5x² - 8x - 48
Jetzt hast du immer noch x³ stehen. Hier wird es jetzt komplizierter, da du nicht weiter kürzen kannst.
Der Weitere Schritt ist eine Polynomdivision, für diese musst du aber eine Nullstelle kennen um die übrigen zu bestimmen. Diese findest du nur durch ausprobieren. In diesem Fall haben probieren wir erstmal die natürlichen Zahlen, haben Glück und die 3 passt.
Die Methode für die Polynomdivision entspricht der des schriftlichen Dividierens aus der Grundschule, nur dividiert man statt Zahlen Terme.
Aufgrund der bekannten Nullstelle bei x=3 dividieren wir den gesamten Term durch x-3:
(x³ + 5x² - 8x -48) : (x-3) = x² + 8x + 16
-(x³ - 3x²)
-(8x² - 24x)
-(16x - 48)
Das Verfahren zu erklären würde jetzt hier den Rahmen sprengen, schau dir bitte dieses Video an:
http://www.matheretter.de/grundlagen/kubische-gleichungen
Jedenfalls erhällst du jetzt eine quadratische Gleichung und die ist ja bekanntlich lösbar mit pq-Formel.
Deine Nullstellen sind hier -4;0;3
x³ ausklammern; dann Nullproduktsatz anwenden.
Bei Deinem Beispiel gibt es drei reelle Nullstellen:
x1=3
x2=-4 (doppelte Nullstelle)
x3=0 (dreifach, wegen x^3=0)
Berechnet mit Hilfe der Cardanischen Formel. Da die Determinante in diesem Fall gleich Null ist, ist die Rechnung relativ einfach.