Wie kann man beweisen, dass eine Formel unendlich viele Lösungen hat?
Bin grad dabei eine Matheolympiade zu machen und dabei muss ich beweisen, dass eine Formel (a^2+3ab=c^2) unendlich viele Lösungen hat. Habe schon nen bisschen probiert habe aber noch keinen sinnvollen Ansatz.
Bitte keine kompletten Lösungen sondern nur Ansätze, Danke
Also erstmal habe ich vergessen zu erwähnen, dass es im Bereich der ganzen Zahl und habe die Lösung gefunden.wenn
b = 0 -->
3*ab=0 -->
a^2+0=c^2 -->
a = c
unendlich viele Zahlen -->
unendlich viele Quadrate -->
unendlich viele Lösungen
7 Antworten
Eine Idee wäre, dass es für eine beliebige Lösung (z.B. mit a) immer eine Lösung mit einem größeren a gibt. Du kannst auch annehmen, dass es nur eine endliche Menge an Lösungen gibt und das zum Widerspruch führen, z.B. indem du zeigst, dass es für jede endliche Menge an Lösungen eine Lösung gibt, die nicht in dieser Menge ist.
Schneller Beweis: Wenn du eine Variable in Abhängigkeit einer anderen Variablen ausdrücken kannst, z.B. a = c
Widerspruchsbeweis: Nimm an, dass die Menge...
die Menge aller Lösungen für deine Gleichung ist. Dann nimm an, dass diese endlich ist, also es eine endliche Anzahl an Lösungen gibt.
Dann kannst du die Menge so ordnen, dass es ein maximales Element gibt (Ordnung: a < b < c)
Seien a*, b*, c* diese maximalen Elemente, finde nun (a,b,c), sodass (a,b,c) > (a*,b*,c*) und du erhälst einen Widerspruch.
Ist das wirklich die komplette Aufgabe? b =0 zu setzen erscheint mir zu einfach.
Forme um, verwende die 3. binomische Formel:
- a^2-c^2=3ab
- =(a-c)(a+c)
Setze a fest, sodass b und c frei wählbar sind. b=(a-c)(a+c)/(3a) muss eine ganze Zahl sein, z.B. kann 3a den Faktor a+c teilen. Die findet man leicht.
Man soll beweisen dass es unendlich viele Tripel für diese Gleichung gibt.
wir setzen c²=e
0=a²+3*b*a-e hat die Form einer Parabel 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel
x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
p=3*b und q=e
a1,2=-3*b/2+/-Wurzel((3*b/2)²-e)=-3/2*b+/-Wurzel(9/4*b²-e)
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt
Kapitel,quadratische Gleichung,Lösbarkeitsregeln
Normalform der Parabel 0=x²+p*x+q
hier ist x=a p=3*b und q=c²
ergibt 0=a²+(3*b)*x+c²
Das ist eine Gleichung mit den Unbekannten b und c und somit nicht "eindeutig" lösbar
setze für b=1 und c=2 ein,dann ist p=3*1=3 und q=-2²=-4
dann p-q-Formel anwenden a1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
Wenn man also für b und c willkürlich Zahlen einsetzen darf,dann ergeben sich daraus ja auch unendlich viele Lösungen (Lösungsmenge)
Hinweis:Man muß die Form der Gleichung erkennen ! Die Benutzung von Buchstaben in Formeln ist nicht immer einheitlich.
1) y=f(x)=Funktionswert
2) x=unabhängige Variable
3) der Buchstabe a wird meistens für eine Konstante oder für Koeffizienten verwendet
Freundschaft kann ich nur annehmen,wenn du Nachhilfe brauchst,weil ich keine Zeit habe umsonst stundenlang für Schüler zu rechnen.
Hier mache ich das bei GF nur aus Hobby und weil mir die Schüler leid tun.
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Eine Verständnisfrage: Man kann für b und c willkürliche Zahlen einsetzten und bekommt a raus. Aber davor konnte man doch auch willkürliche Zahlen für a und b einsetzten und hat c bekommen. Wo liegt der unterschied? Wo hast du etwas bewiesen?
Nochmal vielen dank für die kostenlose Hilfe!!
Ich habe hier zwischen der "unabhängigen" Variable x unterschieden und den Konstanten b und c
Die Gleichung hat die Form einer Normalparabel 0=x²+p*x+q
hier p=3*b und q=-c²
Das ist eine Gleichung mit 2 Unbekannte,b und c
Wie soll man denn Beweisen,dass eine Gleichung mit 2 Unbekannten unendlich viele Lösungen hat
Beispiel: a+b=15 wie soll man nun a und b "eindeutig bestimmen" ?
1+14=15
2+13=15
3+12=15
also unendlich viele Lösungen
Mehr weiß ich auch nich.
Beweise du mal,dass a+b=15 unendlich viele Lösungen hat.
Jetzt hast du nur das Problem nur in eine andere Form gebracht, aber es bleibt unbeantwortet bzw. unbewiesen. Die Frage ist jetzt, ob 0 = x^2 + px + q für x, p und q unendlich viele Lösungen hat.
Wir haben jetzt 2 Parameter,b und e,die in einer Formel stehen.
Jede Lösung ist also von den Werten für b und e abhängig.
Man kann ja nun unendlich viele Werte für b und e einsetzen und erhält dadurch auch unendlich viele Lösungen.
Es ist auch bekannt,dass es keine eindeutige Lösung geben kann,wenn man mehr Unbekannte hat,als Gleichungen.
Hi,
das glaube ich nicht dass das der volle Text ist, denn so ist ja mehr als einfach.
Ich argumentiere einfach. ich kann für a und b egal welche Zahlen einsetzen (1, 2, 3, 0,5, √2,√3 usw. und
erhalte dementsprechend einen anderen Wert für c.
Vermutlich sollst Du das in der Menge der natürlichen Zahlen beweisen, oder ganzen Zahlen?
LG,
Heni
- a^2+3ab muss größer gleich 0 sein, da c^2 >= 0. Man kann also nicht beliebige Zahlen für a und b einsetzen.
- Dass man für jedes (a, b) einen anderen Wert für c herausbekommt, muss auch bewiesen werden.
Aber trotzdem beliebige positivee Zahlen, demnach unendlich Viele.
Bin mir ziemlich sicher, dass die Identität in N oder Z zu beweisen ist.
Aber wenn vom FS nichts kommt..... :-(
Wäre p nicht 3*b*a?