Wie kann ich das Volumen rückwärts ausrechnen?
5 Antworten
Nahcfolgend erst wie man die Volumenformel herleitet, musst du nicht zwingend verstehen können.
Und am Ende, unterm Trennstrich, die Formel und die Anwendung auf deine Aufgabe.
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Herleitung der Volumenformel:
Wir integrieren über den Querschnittsflächeninhalt in verschiedenen Höhen.
In der Höhe h=0 ist er 12*16=192.
in der Höhe h0=hmax ist er 0.
Wie es zwischendrin aussieht , müssen wir untersuchen.
Die Breite müsste in gewissem Maße proportional zur Höhe sein:
b=bmax*(1-h/hmax)
bei h=0 ist b maximal, bei h=hmax ist es 0. und dazwischen halt skaliert.
analog die länge l:
l=lmax*(1-h/hmax)
wegen Flächeninhalt=breite mal länge folgt dann:
F(h)=bmax*lmax*(1-h/hmax)^2
(1-1/hmax*h)^2
=1-2/hmax*h+(1/hmax)^2*h^2
daher
F(h)=bmax*lmax*1 - bmax*lmax*2/hmax * h + bmax*lmax*(1/hmax)^2 * h^2
Alles bis auf h sind hier kosntanten, daher ist das schlicht eine Parabel oder ein polynom zweiten grades.
Nun weiter:
Wie erwähnt, wollen wir das Volumen durch integration über alle Flächeninhale finden.
Also
V=Integral von h=0 bis h=hmax von (F(h))
dcazu brauchen wir die Stammfunktion von F(h).
Weils anders nervig wird und unschön, führen wir ein paar Abkürzungen ein:
c:=bmax*lmax*1, b:=- bmax*lmax*2/hmax, a:=bmax*lmax*(1/hmax)^2
(a,b,c sind hier einfahc kosntanten, b hat hier nichts mit der Breite von eignangs zu tun!)
damit also F(h)=ah^2+bh+c
die Stammfunktion hiervon ist bekanntlich:
StammF(h)= a/3*h^3+b/2*h^2+ch
Damit folgt dann fürs Integral:
V=Integral h=0 bis h=hmax von (F(h))
= StammF(hmax)-StammF(0)
=a/3*hmax^3+b/2*hmax^2+c*hmax=hmax*(a/3*hmax^2+b/2*hmax+c)
Nun einfach noch a,b,c durch die ursprünglichen Asudrücke ersetzen, etwas verkürzen , ausklammern und so damits schöner aussieht:
hmax*(a/3*hmax^2+b/2*hmax+c)
=hmax*(
(bmax*lmax*(1/hmax)^2)/3*hmax^2
+(- bmax*lmax*2/hmax)/2*hmax
+bmax*lmax
)
=hmax*(
(bmax*lmax/3
- bmax*lmax
+bmax*lmax
)
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Fazit:
Daher also
V=hmax*bmax*lmax/3
Langer Rede, kurzer Sinn:
Das Volumen ist 1/3 des Volumens eines Quaders (aka "3d Rechteck") mit den Seitenlängen lmax,bmax,hmax :-)
Die Formel und Lösung lautet also in deinem Beispiel:
460,8=V(h)=(12*16*h)/3=64*h
daher ist nach umstellen dann
h=460,8/64= 7,2 :-)
V = ⅓ × Grundfläche × h
umgestellt: h = 3 × V ÷ Gründfläche
denke mal das ist richtig
Du meinst "aus dem Volumen die Höhe berechnen".
Na, da stell mal die Formel für das Volumen auf, in der ja die länge, breite und Höhe vorkommt.
Und dann stell die Gleichung einfach nach der Höhe h um.
Wie kann ich das Volumen rückwärts ausrechnen?
Keine Ahnung was Du mit rückwärts ausrechnen meinst, aber um die gesuchte Höhe zu ermitteln, solltest Du die Formel für das Volumen entsprechend umstellen.
Du stellst die Volumenformel auf:
V = a · b · h/3
Die löst du nach h auf.