Wie kann ich das Integral berechnen?
3 Antworten
Hallo,
substituiere x²=u.
Dann ist du/dx=2x und dx=du/(2x), der Substitutionsausgleich.
x³=x*u, da u=x².
Das führt zu dem Integral ∫ (1/2x)*x*u*e^udu und nach Kürzen durch x zu
∫(1/2)u*e^udu=(1/2)∫u*e^udu.
Jetzt partielle Integration anwenden mit f=u und g'=e^u, zum Schluß u wieder durch x² übersetzen und Du bekommst F(x)=(1/2)e^x²*(x²-1)+C.
Herzliche Grüße,
Willy
Nimm den integralrechner.net dazu. Durch das e^x^2 ist irgendwann im Verlaufe der Integration die Gamma-Funktion dabei.
Wenn e^x² alleine da stünde, liefe es darauf hinaus. Aber zum Glück läßt sich durch das x³ alles schön wegkürzen.
Da rührt ja mein Denkfehler her. Ich habe e^x^2 gesehen und sofort an die Gammafunktion gedacht, obwohl sie es bei e^x^2 auch nicht ist, aber zumindest was imaginäres.
Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´
Partielle Integration ∫u*dv=u*v-∫v*du
Substitution (ersetzen) z=x² abgeleitet z´=dz/dx=2*x → dx=dz/(2*x)
F(x)=∫z*x*e^(z)*dz*1/(2*x)=1/2*∫1*z*e^(z)*dz
nun die partielle Integration
u=z → u´=du/dz=1 → du=1*dz
dv=e^(z) Grundintegral v=∫e^(z)*dz=e^(z)
F(x)=1/2*(z*e^(z)-∫e^(z)*1*dz
F(x)=1/2*[z*e^(z)-1*e^(z)+C]
F(x)=1/2*z*e^(z)-1/2*e^(z)+1/2*C → 1/2*C=C
F(x)=1/2*e^(x²)*(x²-1)+C
Probe: Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) xu=0 und xo=1
A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu) → A=0,5 FE
A=[1/2*e^(1²)*(1²-1)] - [ 1/2*e^(0²)*(0²-1)]=(0)-(1/2*1*(-1)
A=0,5 FE stimmt
Nix mit Gammafunktion. Eine Substitution tut's.