Wie kann ich aus einem Graphen die Funktionsgleichung ablesen?
Mal vorgestellt, ich hätte eine lineare Funktion, und den dazugehörigen Grafen. Hier weißt ich auch, wie ich die Funktionsgleichung ablese, nämlich markiere ich 2 Punkte, und mache m=(y1-y2)/(x1-x2), und so finde ich m heraus. Aber c kann man ablesen. Mal angenommen, man könnte c nicht ablesen, weil der Graf an einer anderen Stelle fotografiert worden sei, wie würde ich in dem Falle mein c von der Funktionsgleichung y=mx+c herausbekommen? Also kann ich c auch irgendwie ausrechnen, oder muss ich das ablesen können, weil ich keine andere Wahl habe? Das kling komisch, aber ich bin mir sicher, dass man das nicht berechnen kann, sondern nur die Gleichung. Aber ich will jede Zweifel abschaffen :D. Okay, nun wie mache ich das bei einer quadratischen Funktion? Ich habe den Grafen, und muss auf Grundlage dessen eine Funktionsgleichung aufstellen, wie mache ich das. Und mal angenommen, ich hätte als Grundlage nichtmal den Grafen, sondern nur 2 Punkte, wie mache ich es dann? Was mache ich bei den restlichen Potenzfunktionen, wie kann ich bei denen anhand zweier Punkte den Funktionsgleichung bestimmen? Geht das überhaupt? Und auf welche Weise mache ich es bei Exponenzialfunktionen?
Mir ist sehr wichtig, dass auf jeden Fall die dick markierten Fragen beantwortet werden, da ich überhaupt keine Quelle finde, wo ich das nachschlagen kann, nicht mal in einem Schüler-Mathebuch.
6 Antworten
Für deine erste Frage:
Du rechnest zunächst m aus, wie du es beschrieben hast, dann setzt du alle bekannten Variablen ein. Du kennst m, du kennst aber auch zwei x-y-sätze von den Punkten und damit bleibt nurnoch c übrig, du stellst die Gleichung nach c um hast damit alle Variablen der Gleichung.
Zweite Frage:
Am simpelsten wenn du den Scheitelpunkt siehst, dann kannst du einfach die Scheitelpunktsform runterschreiben.
Ansonsten brauchst du mindestens drei Punkte beziehungsweise Bedingungen, da die allgemeine Gleichung so aussieht: f(x)= ax^2+bx+c
Jeder weitere Grad der Funktion, also wie groß die Potenz ist, benötigt eine weitere Bedingung. Bei solchen Aufgaben wird dir in der Regel gesagt welchen Grad die Funktion hat.
Bei Exponentialfunktionen kommen Logarithmen zur Anwendung aber das darf dir dein Lehrer dann erklären.
Du stellst ein Lineares Gleichungssystem auf, dann kannst du durch Subsitution und das gaus'sche Verfahren die Faktoren erarbeiten.
Betrachte eine beliebiges Polynom vom Grad "n", d.h.
(mit reellen Koeffizieten a_k)
Nun zu deiner Frage:
Wir sehen dieses Polynom besitzt (n+1) Koeffizieten "a_k" (a_0 , ... , a_n)
d.h. es lässt sich genau dann eindeutig lösen, falls du aus deinem Graphen (n+1) Funktionswerte ablesen kannst.
Lineare Funktionen sind Polynome vom Grad "1", d.h. du brauchst lediglich zwei Punkte deines Graphen zu entnehmen.
Quadratische Funktionen sind Polynome vom Grad "2", d.h. du brauchst dieses mal drei Punkte aus deinem Graphen.
usw.
Hi! Mein Wissensstand ist so 8/9 Klasse, weslhalb ich mich erschwert habe, deinen Text zu verstehen, und es ist mir trotz dessen nicht gelungen. Aber ich habe verstanden, dass ich bei der Quadratischen Funktion 3 Punkte brauche, und bei der linearen 2, es müssen ja auch min. 2 sein, weil ich ja sonst keine Funktionsgleichung aufstellen kann. :D.
Aber trotz dem vielen Dank!
hmm, die exakte Funktion einfach so zu erkennen ist natl schwer, aber in den Naturwissenschaften ist es üblich grob die Abhängigkeit abzuleiten und dann die Funktion zu bestimmen!
Früher wurde das per Linearisierung gemacht und heute könnte man in Excel/Calc und am TR einen RegressionsAnalyse machen!
Eine quadratische Funktion ist vom Grad 2 (Größte Hochzahl)
Du brauchst immer Grad + 1 Infos, hier also 3
f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
Du ließt jetzt aus dem Graphen ein Paar Infos ab, z.B. Punkte, Steigung, Wendepunkte wenn Grad > 2, etc.
Dann musst du alles in ein LGS packen:
z.B.
Punkt 3/5 --> 5 = 9a + 3b + c
Punkt 0 / 1--> 1 = 0*a + 0*b + c = c ALSO c = 1
Steigung bei x = 0 ist 0: f'(x) = 0 --> 0 = 2*a*0 + b = b ALSO b = 0
Dann kannst du b und c in die obere Gleichung einsetzten.
Würden diese Variablen nicht direkt da stehen müsstest du ein LGS mit drei Gleichungen und 3 unbekannten lösen
Du guckst bei x und y dann schreibst du das in diese Formel:
Y= (x-d)²+e
!!!Das d in der Klammer muss immer andersrum sein, also wenn es im Graphen + ist muss in der Klammer - stehen
Beispiel:
X: 2
Y: 4
Y = (x-2)²+4
moment, wenn x:2, warum dann nicht y=(2-d)+e, denn wenn x 2 ist, muss ich sie doch für x in der Funktionsgleichung einsetzen, oder nicht?
Okay danke, das war wirklich hilfreich, und ich dachte, ich könnte c nicht ausrechnen, aber anscheinend schon, ich habe das sofort ausprobiert :D. Was ist aber, wenn bei der quadratischen Funktion ich nur 3 Werte links vom Scheitelpunkt habe, z. B. bei der Normalparabel einfach im Bereich -x und y, und nicht im Bereich +x, also so, dass ich die Werde nur für dir rechte Seite der Parabel habe? Kann ich dann auch bestimmen, wo der Scheitel liegt, und wie die Funktionsgleichung dann aussieht?
Und mal angenommen ich hätte diese 3 Werte, wie würde es dann weitergehen? Wie komme ich denn auf die Funktionsgleichung?