Wie kann ich am besten Konjugation in der Gruppentheorie intuitiv verstehen?
Wofür genau ist die Äquivalenzrelation zwischen zwei Elementen sinnvoll, die die Konjugationsklasse in einer nicht albelschen Gruppe bildet?
a,b,c∈G, wobei cac^(-1) = b, "a und b sind konjugiert zueinander". Wie kann ich mir das visuell vorstellen?
Probleme habe ich vor allem mit der Transformation das ich erst c^-1, zum Schluss wieder c anwende und dass eben in einer Gruppe die nicht kommutativ ist. Ich habe schon gelesen daß einige sagen es wäre eine Änderung der basen, würdet ihr dem zustimmen?
Vorhin kam mir der Gedanke, daß es vielleicht ähnlich wie die Permutation bei einem Zauberwürfel ist, ich drehe zum Beispiel die rechte Fläche nach unten, drehe dann die obere nach Links und drehe anschließend die rechte Fläche wieder nach oben, dann habe ich ja sozusagen zwei Steine an den oberen Ecken ausgetauscht. Ist da irgendein Zusammenhang mit Konjugation?
2 Antworten
Am wichtigsten dürfte die Konjugation wohl für das Konzept "Normalteiler" sein, ohne dass die Untersuchung nichtabelscher Gruppen um Größenordnungen schwieriger wäre.
Anschaulich vorstellen kann man sich hier eigentlich nichts, es ist ein sehr abstraktes Konzept. Meine Intuition sagt irgendwas davon, dass man entlang einem Normalteiler "drehen" kann, ohne den Rest der Gruppe durcheinander zu bringen - aber auch das ist nur irgendetwas, das sich greifbar anfühlt, ohne dass ich einen Bezug zur mathematischen Realität nachweisen könnte.
Immerhin sind wir mit dem Stichwort "drehen" beim Rubikwürfel/Zauberwürfel.
In der Tat spannen die Einzeldrehungen des Würfels eine Gruppe auf (Operatorgruppe auf der Menge der Oberflächen der Einzelwürfel) und in einem Büchlein zur Theorie des "Zauberwürfels" verwenden die Autoren auch die Begriffe "Kommutator" und "Konjugation".
Ob es sich um eine Basentransformation handelt, wüsste ich auf Anhieb nicht (das alles liegt für mich schon lange zurück).
Die genannte Folge von Drehungen (R' U R) beim Zauberwürfel wäre konjugiert zu einer einzelnen Drehung oben (U). Die Zauberwürfelgruppe besteht nicht nur aus einzelnen Drehungen, sondern auch aus den Permutationen, die aus mehreren Drehungen zusammengesetzt sind. Besonders interessant sind solche Folgen von Drehungen, die nur drei Ecken oder nur drei Kanten vertauschen. Wenn man Zauberwürfel löst, kennt man solche Folgen, die drei Steine im oder gegen den Uhrzeigersinn vertauschen. Möglicherweise will man aber auch Steine, die nicht in einer Ebene liegen, vertauschen. Hier kommt die Konjugation ins Spiel. Man dreht ohne Rücksicht auf Verluste die Steine so hin, dass sie in einer Ebene liegen, dann führt man die Folge aus, die die drei Steine vertauscht und schließlich macht man die Drehungen vom Anfang wieder rückgängig.
Am Beispiel von drei Elementen wollen wir das zweite und dritte Element vertauschen. Wenn wir nur 1 und 2 vertauschen können, würden wird zuerst 2 und 3 in die Position von 1 und 2 bringen, diese vertauschen und dann wieder zurück nach 2 und 3 bringen. Die Konjugation kann man auch als Umbenennung sehen. 1 wird in 3, 2 in 1 und 3 in 2 umbenannt, dann vertausche ich 1 und 2 und mache die Umbenennung wieder rückgängig. Wenn man die Permutation auf der rechten Seite in einer anderen Reihenfolge aufschreibt, sieht man deutlicher was passiert ist.
Wir haben die Permutation 1 ↦ 2, 2 ↦ 1, 3 ↦ 3. Die Konjugation vertauscht einfach die Elemente innerhalb der Permutation.
In der Linearen Algebra wäre das eine Basistransformation und jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer Allgemeinen Linearen Gruppe, ist also mit Matrizen darstellbar. Bei der Diagonalisierung stellt man so die Abbildung bezüglich der Eigenvektoren dar. Zunächst hat man allgemein keine Basis bei einer Gruppe, aber man kann jede Gruppe als Lineare Abbildungen in einem Vektorraum darstellen. Dann wäre Konjugation ein Basiswechsel. Im einfachsten Fall, wenn man die Gruppenelemente als Permutationsmatrizen darstellen würde, bestünde der Basiswechsel lediglich aus der Änderung der Reihenfolge der Basisvektoren.
Konjugationen sind interessant für die Klassengleichung. So kann man mögliche Strukturen von Gruppen analysieren.