Wie ist diesee Aufgabe zu lösen?
3 Antworten
Hallo,
die Summenformel für beide Summen ist die gleiche: 2^(n-1).
Wenn Du Dir das Pascalsche Dreieck ansiehst, merkst Du, daß sich die einzelnen Reihen immer zu 2^n summieren.
Bei der Summe von (n über 2k) summierst Du die Koeffizienten einer Reihe, die an der 1., 3., 5. usw. Stelle stehen, bei (n über 2k+1) summierst Du die anderen.
Beide Summen sind jeweils gleich, also 2^n*1/2=2^(n-1)
Herzliche Grüße,
Willy
Nenne die erste Summe A und die zweite Summe B.
Dann ist A+B die Summe aller Binomialkoeffizienten binomial(n,k) oder anders geschrieben die Summe 1^k*1^(n-k)*binomial(n,k). Nach dem binomischen Lehrsatz ist diese Summe gleich (1+1)^n=2^n.
Gleichzeitig ist A-B die Summe über alternierende Binomialkoeffizienten, d.h. anstatt alle zu addieren zählen wir jeden zweiten Term negativ dazu. Diese Summe lässt sich schreiben als die Summe über (-1)^k*binomial(n,k)= summe (-1)^k*1^(n-k)*binomial(n,k). Nach dem binomischen Lehrsatz ist diese Summe gleich (-1+1)^n=0.
Okay jetzt wissen wir A+B=2^n und A-B=0. Die Lösung lautet also A=B=2^(n-1).
An dem Berechne ist vermutlich nicht umsonst eien kleine 2. Ich würde ja erstmal diese Anmerkung/Fußnote lesen, vielleicht wird es dann klarer?