Wie integriere ich diese Aufgabe verstehe den integralrechner nicht, wie genau geht das hier mit der substitution?
Ich würde mich sehr über einen ausführlichen Rechenweg freuen!:)
(ausführlicher als beim integral Rechner)
5 Antworten
Hallo,
grundsätzlich ist es so, wie MeRoXas geschrieben hat.
Steht im Zähler die Ableitung des Nenners, ist die Stammfunktion einfach der ln mit dem Nenner als Argument. Hinten kommt wie immer +C dran, damit Du alle möglichen Stammfunktionen erwischst und nicht nur eine spezielle.
Du kannst es Dir allgemein so klarmachen:
g(x)=f'(x)/f(x).
Wenn Du f(x) durch u substituierst, ist die Ableitung von u nach x natürlich f'(x) und damit der Substitutionsausgleich 1/f'(x).
Der kürzt sich gegen f'(x) im Zähler weg, so daß f(u)=1/u, denn nach dem Kürzen bleibt nur noch f(x) im Nenner und das wird ja durch u ersetzt.
Wenn Du aber 1/u*du integrierst, bekommst Du ln |u|+C heraus - das ist immer so.
Nun ersetzt Du u wieder durch f(x) und bekommst ln |f(x)|.
In Deinem Fall ist f(x)=x²+x+1 und damit G(x)=ln |x²+x+1|.
Natürlich kannst Du auch x²+x+1 durch u substituieren und bekommst als Substitutionsausgleich 1/(2x+1) heraus, wodurch Du nach Kürzen und Substituieren wieder bei 1/u landest. Kennst Du aber den Trick mit Ableitung oben, Funktion unten, kannst Du das Integral ohne lange Herumrechnerei sofort bilden.
Herzliche Grüße,
Willy
Einen ähnlichen Trick gibt es bei Funktionen der Form g(x)=[f(x)]^n*f'(x).
Substituiere f(x)=u und sieh, was dabei herauskommt.
Zur Kontrolle: G(x)=[1/(n+1)]*[f(x)]^(n+1)+C
Oft lohnt es sich, Funktionen durch Faktorisieren oder Erweiterung mit geeigneten Konstanten auf eine solche Form zu bringen, wenn Du siehst, daß eine der Ableitung der anderen schon recht nahe kommt.
Beispiel: g(x)=6x/(x²+1).
6x ist zwar nicht die Ableitung von x²+1, aber 2x ist es und 6x=3*2x.
Du schreibst also um zu g(x)=3*2x/(x²+1).
Der konstante Faktor 3 bleibt beim Integrieren erhalten und Du bekommst dann ohne großes Rechnen G(x)=3*ln |x²+1|+C.
2x + 1 (Zähler) ist die Ableitung von x^2 + x + 1(Nenner). Deshalb handelt es sich hier um einen Sonderfall der Integration, bei welchem das Ergebnis immer ln(|Nenner|) +C darstellt.
=> in diesem Beispiel: ln(|x^2 + x + 1|) +C.
Hier steht im Zähler die Ableitung des Nenners.
Nun gilt:
Also kommt ln(x²+x+1)+C raus.
"Versteh ich nicht" ist so wunderbar nichtssagend.
Wenn man den ln einer Funktion ableitet, kommt raus, dass man einfach die Ableitung der Funktion durch die Funktion teilen muss. Das ist dann die Ableitung dieser ln-Funktion.
Betrachten wir bspw. f(x)=ln(3x³+2x). Dann ist f'(x)=(9x²+2)/(3x³+2x).
Ableitung der Funktion im ln durch die Funktion im ln.
Formal: ln(f(x))'=f'(x)/f(x)
So weit, so gut. Aber was hat das mit dem Integral zu tun? Drehen wir diese Regel doch mal um. Wir integrieren auf beiden Seiten und erhalten:
ln(f(x)=Integral f'(x)/f(x) dx
Wenn du eine Bruchfunktion hast, die im Zähler die Ableitung des Nenners stehen hast, ist die Stammfunktion dieser Bruchfunktion also einfach der ln vom Nenner.
Genau das ist hier der Fall. 2x+1 ist die Ableitung von x²+x+1, also ist eine Stammfunktion bspw. ln(x²+x+1).
Wenn du das Integral mithilfe einer Substitution ermitteln willst, dann solltest du dir mal den Nenner vornehmen und gucken was passiert.
Einsetzen:
Immer zuerst das Mathe-Formelbuch aufschlagen.
Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale
∫(f(x))^⁽n)*f´(x)*dx=1/(n+1)*(f(x))^(n+1)+C
∫f(x)*f´(x)*dx=1/2*(f(x))²*dx+C (könnte sein ...=1/2*∫(f(x))²*dx+C
Wahrscheinlich ein Druckfehler in meinem Mathe-Formelbuch
∫f´(x)/f(x)*dx=ln(f(x))+C
Versteh ich nicht... :/ hättest du mir vllt einen ausführlichen Rechenweg damit ich das nachvollziehen kann?