wie heißt das charakteristische Polynom?
Hey,
ich möchte das Hurwitz-kriterium anwenden und muss zuvor aber das charakteristische Polynom von dem Nenner der Übertragungsfunktion aufstellen. Es handelt sich hier um Faktoren von einem idealen PID-Regler der mit G(s) multipliziert wurde. Das ist der Nenner der Übertragunsfunktion:
Wie heißen die Wert für a_n für das Hurwitz-kriterium? Ich bin mir hier ziemlich unsicher...
2 Antworten
1. Das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises ist falsch: Der Summand Td*s muss korrekterweise Kr*Td* s heißen.
Kochrezept: du nimmst das Nennerpolynom und setzt zu 0. Dann bringst du eine Seite in die Form
a_0*s^n + a_1*s^(n-1)+...+a_n*s^0
Wenn das Polynom höchstes die Ordnung 2 hat, müssen alle a_i das gleiche Vorzeichen haben und nicht 0 sein, damit der RK asympt. stabil ist. Es ist eine notwendige und hinreichende Bedingung.
Falls das Polynom aber die Ordnung drei oder höher hat, dann ist diese Bedingung notwendig. Wird die notwendige Bedingung erfüllt, so muss die Hurwitz-Matrix positiv definit sein. Wie man die Matrix bzgl. den a_i aufstellt, steht z.B. in Wikipedia.
Du musst das Nennerpolynom
s -1 + K_R + K_R*T_D * s + (K_R/T_I*s)
zu null setzen und dann beide Seiten mit s multiplizieren damit 1/s nicht auftaucht.
Man erhält dann:
(1+K_R*T_D)*s^2 + (K_R-1)*s + K_R/T_I = 0
Was muss jetzt gelten? Vergiss kurz die Hurwitz-Matrix. Die brauchst du nicht. Bemerkung: Zeitkonstanten sind positiv also T_I und T_D
Genau so ist es :)
Wenn du jetzt auch noch die Hurwitz-Matrix aufstellen und das Kriterium "alle Unterdeteminanten müssen positiv sein" prüfen würdest, käme das gleiche Ergebnis raus. Erst wenn das Polynom echt die Ordnung 3 oder höher hat muss du die aufwändige Matrix aufstellen und die ganzen Determinanten bilden. Bei einem Polynom bis Ordnung 2 kannst du dir die Mühe allerdings sparen ;)
Es müsste Hauptminoren heißen und nicht Unterdeterminanten. sorry :)
Das charakteristische Polynom entsteht, wenn man den Lösungsansatz (e-Funktion) in die zur Schaltung gehörende DGL einsetzt.
Interessanterweise ist dieses Polynom identisch zum Nenner der zugehörigen Übertragungsfunktion im s-Bereich.
Setzt man dieses Polynom=0 , dann entsteht die char. Gleichung, deren Lösungen (Nullstellen) identisch sind zu den Polen der Übertragungsfunktion.
Für ein stabiles System müssen diese Pole ( Nullstellen des Nenners, also des char. Polynoms) immer negativ sein bzw. (für komplexe Lösungen) einen neg. Realteil haben.
Ich habe das K versehntlich nicht mitaufgeschrieben. Im meinem Heft hatte ich es zum Glück stehen gehabt. Es sollte eigentlich heißen: s -1 + K_R + K_R*T_D * s + (K_R/T_I*s). Ich habe das nach dem Schema von dir aufgeschrieben:
s(1+T_D *K_R) +(K_R -1) + s^1(K_R/T_I) Ich habe da so gemacht....
a_0 = (K_R -1) ,
a_1 = (1+T_D *K_R)
Aber wie ist das mit s^-1, kommt das vor a_1 oder nach a_1? Es ist ja ein s enthalten... Ich muss das ja dann in die Matrix einfügen und auf größer 0 prüfen mit Determinante. Also D0 wäre dann a1 und D1 wäre dann die Determinate der 2x2 Matrix.
a1 a3
a0 a2