Wie groß ist das Volumen eines Würfels , dessen Raumdiagonale 4 cm lang ist?
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Das Volumen des Würfels beträgt 64/9 ⋅ √(3) cm³, was etwa 12,32 cm³ ist.
======Hinweise zu einem möglichen Rechenweg======
Bezeichne die Kantenlänge des Würfels mit a.
Wie groß ist die Länge der Raumdiagonale ausgedrückt mit Hilfe von a? [Hinweis: Betrachte zunächst eine Flächendiagonale entlang einer Seitenfläche als Hilfsgröße. Nutze den Satz des Pythagoras.] Diese soll nun 4 cm lang sein, was eine Gleichung liefert, mit der man a berechnen kann.
Mit Hilfe der Kantenlänge a kannst du dann das Volumen berechnen.
======Möglicher Rechenweg======
Das Dreieck PQR ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei Q. Nach Satz des Pythagoras gilt:
Das Dreieck PRS ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei R. Nach Satz des Pythagoras gilt:
Setzt man da nun, wie zuvor erhalten, d² = a² + a² ein, erhält man:
Aufgelöst nach a erhält man dann:
Für das Volumen des Würfels erhält man dann:
Im konkreten Fall mit e = 4 cm erhält man:
![- (Mathematik, Würfel)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/416020340/0_big.png?v=1630328842000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Zuerst die Kantenlänge berechnen (Pythagoras)
Dann das Volumen berechnen (Altbekannte Formel)
An welcher Stelle kommst Du nicht weiter?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/IceT1701/1633171598483_nmmslarge__115_115_842_842_49e4e4d9089a6c2637552516374bdc6a.png?v=1633171599000)
Du brauchst erst mal die Diagonale (ich nenne sie mal s) einer Seite.
a²+a²=s² also --> Wurzel aus 2a²
Jetzt kannst du darüber die Diagonale d im Raum berechnen, die ja 4 ist.
a²+ (Wurzel(2a²))² = 4²
a²+2a² = 3a² = 16
a= 2,31
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Also du meinst a^2+a^2=d^2