Wie gebe ich das bei WolframAlpha ein?
Hey Leute!
Also Folgendes: Ich möchte gerne diesen Ausdruck https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/es7h.png bei WolframAlpha eingeben.
Nun ist meine Frage: Wie kann ich das am besten machen? Denn Wenn ich ´prod(integ(sin(x)^k)dx) x = 0 to Pi k = 0 to n´ eingebe, missinterpretiert der das sofort.
Also was muss ich WA sagen?
Danke schon mal für die Antworten! :) JTR
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/hypergerd/1444746519_nmmslarge.jpg?v=1444746519000)
Hier gibt es Polstellen an den Integrationsgrenzen, die nicht so einfach sind!
integral sin^k(x) dx = -cos(x) sin^(k + 1)(x) sin^2(x)^(-k/2 - 1/2) 2F1(1/2, (1 - k)/2, 3/2, cos^2(x)) + constant
{2F1 = hypergeometrische Funktion }
= -cos(x)*sin(x)^(k + 1)*sin^2(x)^(-k/2 - 1/2)*2F1(1/2, (1 - k)/2, 3/2, cos(x)²)
= -cos(x)*sin(x)^(k + 1)*abs(sin(x))^(-k - 1)*2F1(1/2, (1 - k)/2, 3/2, cos(x)²)
besser das sin^2(x) mit abs & sgn:
=cos(x)*csc(x)^k*sgn(sin(x))*(-abs(sin(x))^k)*2F1(1/2,(1-k)/2,3/2,cos(x)²)
nun mit Grenzwert x gegen Pi von "links":
lim cos(x)*csc(x)^k*sgn(sin(x))*(-abs(sin(x))^k)*2F1(1/2,(1-k)/2,3/2,cos(x)²),x->Pi^-
aber den Teil "left" also Pi^- :
(sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(2*Gamma(k/2 + 1))
Grenzwert mit x gegen 0 von rechts:
-(sqrt(Pi) Gamma((k + 1)/2))/(2 Gamma(k/2 + 1))
zusammen:
(sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(2*Gamma(k/2 + 1))+(sqrt(Pi) Gamma((k + 1)/2))/(2 Gamma(k/2 + 1))
=(sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(Gamma(k/2 + 1))
nun Produkt:
prod (sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(Gamma(k/2 + 1)),k=1...n
leider kein universelles Ergebnis in expliziter Formelschreibweise, aber
bei n=4 kommt auch Pi²/2 raus wie bei sagemath.org
Doch:
Ergebnis:
Pi^(n/2)/(Gamma(n/2 + 1))
fertig!
![](https://images.gutefrage.net/media/user/hypergerd/1444746519_nmmslarge.jpg?v=1444746519000)
Interessante Analogie zu
https://www.gutefrage.net/frage/integration-von-sinnx?foundIn=list-answers-by-user#answer-252395517
Wo habt Ihr dieses Integral her? Praktischer Anwendungsfall?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Statt ´prod(integ(sin(x)^k)dx) x = 0 to Pi k = 0 to n´ solltest du
Product[Integrate[sin(x)^k, {x, 0, Pi}], {k, 1, n}]
eingeben.
Das wird dann von WolframAlpha richtig interpretiert. Eine andere Frage wäre, ob WolframAlpha zu einem "schönen" Ergebnis kommt.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Da kann ich leider auch nicht weiterhelfen.
Wenn es nicht WolframAlpha sein muss, kannst du für konkrete n-Werte dir auch die Zahlen mit SageMath berechnen lassen. Beispielweise hier:
Für n=4 erhält man beispielsweise durch Eingabe von
n=4 prod(integral(sin(x)^k, x, 0, pi) for k in (1..n))
das Ergebnis
1/2*pi^2
geliefert.
Also zumindest braucht er immer zu lange für die Berechnungszeit eines Freeusers... Und ich hab für n einfach mal 4 eingegeben, damit WA nicht versucht, eine allgemeine Formel für alle Sinus bis n zu finden.