Wie beweise ich die Stetigkeit der Funktion?
Hallo. Ich hab die Funktion: g : R→R, x-> I_ x _I + sqrt( x - I_ x _I).
I_I Soll die Gaußklammer von unten sein.
Ich hab überlegt das die Funktion stetig ist wenn x in den Reellen Zahlen ohne die Ganzen Zahlen ist und das die Funktion nicht stetig ist wenn x eine Ganze Zahl ist. Wie beweise ich nun dieses ? Danke
2 Antworten
Wenn du die ganzen Zahlen raus lässt, ist die Gaußklammer einfach nur eine konstante.
die Funktion nicht stetig ist wenn x eine Ganze Zahl ist
Auch an den ganzzahligen Stellen ist die Funktion stetig.
Beweisidee:
Wenn man eine Stelle x₀ ∈ ℝ∖ℤ betrachtet, so findet man eine Umgebung um x₀ (nämlich den Bereich bis zu den nächstgelegenen ganzen Zahlen), so dass ⌊x⌋ für alle x in dieser Umgebung konstant gleich ⌊x₀⌋ ist. D.h. für alle x in dieser Umgebung ist g(x) = ⌊x₀⌋ + √(x - ⌊x₀⌋), so dass man in dieser Umgebung g als Verknüpfung bekanntermaßen stetiger Funktionen stetig ist. (Wurzelfunktion ist stetig. Summen und Differenzen stetiger Funktionen sind stetig.) Demnach ist g in diesem Fall stetig an der Stelle x₀.
Wenn man eine Stelle x₀ ∈ ℤ betrachtet, so ist
und damit
Da dann linksseitiger Grenzwert gleich rechtsseitiger Grenzwert gleich Funktionswert ist, ist g stetig an der Stelle x₀.
Und wie kommst du darauf, dass „Dann ist 5,99-5 = 0,99. Und aber 6-6=0.“ ein Widerpruch zur Stetigkeit der Funktion sein soll?
g(5,99)
= ⌊5,99⌋ + √(5,99 - ⌊5,99⌋)
= 5 + √(5,99 - 5)
= 5 + √(0,99)
= 5 + 0,994987...
= 5,994987...
g(6)
= ⌊6⌋ + √(6 - ⌊6⌋)
= 6 + √(6 - 6)
= 6 + √(0)
= 6 + 0
= 6
5,994987... und 6 liegen dir dann doch wohl nah genug beieinander, oder?
Klar sind da die Werte unter der Wurzel unterschiedlich. Aber eben auch die Zahl, zu der die Wurzel addiert wird ist unterschiedlich, und zwar genau so, dass sich das ausgleicht.
Und wie beweise ich dann die Stetigkeit der ganzen Funktion?
Das habe ich doch bereits in meiner Antwort ausgeführt. Wenn es da Stellen gibt, die du nicht nachvollziehen kannst, kannst du gerne nachfragen.
Die Funktion ist stetig in allen Punkten meinst du? Aber wenn ich die zahl 5,99 nehme. Dann ist 5,99-5 = 0,99. Und aber 6-6=0. Weil es abegrundet wird. Dann ist doch die Funktion an diese punkte nicht stetig?