Wie bestimmt man C und D damit ABCD eine Raute ist?

Die Fragestellung lautet: „Bestimmen Sie mögliche Punkte C und D so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist.“

Ich habe A(1|2|3|) und B(-2|-1|-3) und dadurch auch den Mittelpunkt von der Strecke AB. Die Lösung in meinem Buch sagt, dass D(4|-4|0) und C(1|-7|-6) sein könnte, aber ich weiß nicht, wie ich das rausbekomme.

Answer 1

[Hamburger02]

Bei der Aufgabenstellung gibt es mehere Lösungen, weshalb ja auch die Wörter "möglich" und "könnte" in der Aufgabe vorkommen. Welcher Lösungsweg auf die Musterlösung führt, weiß ich nicht. Ich würde jedenfalls so vorgehen:

Zum Finden von C und D benutze ich die Eigenschaft, dass alle Seiten gleichlang und parallel sein müssen. Die Eigenschaft, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, verwende ich dann zur Probe.

Zuerst berechne ich den Vektor AB:

AB = B - A = (-2/-1/-3) - (1/2/3) = (-3/-3/-6)

Dieser Vektor hat die Länge:
⎜AB⎜ = √(-3)^2 + (-3)^2 + (-6)^2 = √54

Ansatz für C:
C(x1/x2/x3)

Damit ergibt sich ein Vektor BC:
BC = C - B = ((x1+2) / (x2 + 1) / (x3 + 3)

Und der hat die Länge:
⎜BC⎜ = √((x1+2)^2 + (x2 + 1)^2 + (x3 + 3)^2)

Da ⎜AB⎜ = ⎜BC⎜ sein muss, gilt also:
√((x1+2)^2 + (x2 + 1)^2 + (x3 + 3)^2) = √54

Die 54 kann ich nun beliuebig aufteilen. Ich wähle eine Möglichkeit so, dass 54 die Summe von Quadraten ganzer Zahlen ergibt.

Eine Möglichkeit wäre:
1^1 + 2^2 + 7^2 = 54

Das müssen die Faktoren des obigen Terms √((x1+2)^2 + (x2 + 1)^2 + (x3 + 3)^2) sein. Daraus ergibt sich:
x1 + 2 = 1
x1 = -1

x2 + 1 = 2
x2 = 1

x3 + 3 = 7
x3 = 4

Damit lautet ein mögliches C:
C(-1/1/4)

Damit ergibt sich BC:

BC = C - B = (-1/1/4) - (-2/-1/-3) = (1/2/7)

Da AD und BC gleichlang und parallel sein müssen, hänge ich nun einfach BC an A ran, um so die Ortskoordinaten von D zu ermitteln:

D = A + BC = (1/2/3) + (1/2/7) = (2/4/10)

Nun mache ich vorsichtshalber die Probe:

Diagonale 1 = AC
AC = C - A = (-1/1/4) - (1/2/3) = (-2/-1/1)

Diagonale 2 = BD
BD = D - B = (2/4/10) - (-2/-1/-3) = (4/5/13)

Schneiden von AC und BD (Skalarprodukt):

AC * BD = -8 -5 + 13 = 0

Ergebnis:

Mit den möglichen Punkten C(-1/1/4) und D(2/4/10) wird zusammen mit A und B eine Raute gebildet, da alle Seiten gleich lang sowie gegenüberliegend parallel sind und die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

Comments

[Cullen04]

Vielen herzlichen Dank für die genaue Antwort, das hat mir wirklich sehr geholfen!

Answer 2

[Rammstein53]

Vier Punkte A,B,C,D bilden im Raum eine Raute, wenn folgendes gilt

(Ia)

Vektor durch A und D : v1 = (D-A) = (Dx-Ax, Dy-Ay, Dz-Az)

Vektor durch B und C : u1 = (C-B) = (Cx-Bx, Cy-By, Cz-Bz)

v1 und u1 müssen senkrecht stehen, also v1*u1 = 0

(Ib)

Vektor durch A und B : v2 = (B-A) = (Bx-Ax, By-Ay, Bz-Az)

Vektor durch C und D : u2 = (D-C) = (Dx-Cx, Dy-Cy, Dz-Cz)

v2 und u2 müssen parallel sein.

(Ic)

Vektor durch A und C : v3 = (C-A) = (Cx-Ax, Cy-Ay, Cz-Az)

Vektor durch B und D : u3 = (D-B) = (Dx-Bx, Dy-By, Dz-Bz)

v3 und u3 müssen parallel sein.

Mit (Ax,Ay,Az)=(1,2,3) und (By,By,Bz)=(-2-1,-3) müssen für C und D folgende Bedingungen erfüllt sein:

(Ia) (Dx-1)*(Cx+2) + (Dy-2)*(Cy+1) + (Dz-3)*(Cz+3) = 0

(Ib) (-3, -3, -6) = r * (Dx-Cx, Dy-Cy, Dz-Cz)

(Ic) (Cx-1, Cy-2, Cz-3) = s * (Dx-Cx, Dy-Cy, Dz-Cz)

Setzt man

(Cx,Cy,Cz) = (4,-4,0)

(Dx,Dy,Dz) = (1,-7,-6)

sind alle Bedingungen erfüllt. Somit bilden die 4 Punkte eine Raute. AB ist eine Kante und CD die parallele Gegenkante.

Comments

[Hamburger02]

Setzt man

(Cx,Cy,Cz) = (4,-4,0)

Wie kommt man darauf, wenn man die Lösung noch nicht kennt?

Answer 3

[DerRoll]

Wenn du den Mittelpunkt der STrecke hast kannst du darauf die Senkrechte konstruieren. Denn in einer Raute schneiden sich die Diagonalen senkrecht. Dann sind alle Punkte auf der Senkrechten, die zum Mittelpunkt den jeweils gleichen Abstand haben, die fehlenden Punkte für eine Raute.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[Cullen04]

Ok danke und wie konstruiere ich die Senkrechte?

[DerRoll]

@Cullen04

Das solltest du eigentlich im Unterricht gelernt haben. Du hast einen Vektor gegeben, nämlich die Strecke zwischen A und B. Alle Vektoren für die das Skalarprodukt mit diesem Vektor Null ergibt stehen senkrecht auf ihm. Nun mußt du noch als Aufsatzpunkt den Mittelpunkt der Strecke zwischen A und B nehmen.

[Cullen04]

@DerRoll

Vielen Dank! Meine Mathelehrerin hat uns nur Aufgaben im Buch zum selbst erarbeiten im homeschooling gegeben. Die Fragestunde vor der Klausur fällt weg, da sie schwanger ist.

[Cullen04]

@DerRoll

Tut mir leid, aber ich komm nicht weiter. Ich habe jetzt einen Vektor, der senkrecht zu der Geraden steht, aber ich verstehe nicht, was ich mit dem jetzt machen muss.

[DerRoll]

@Cullen04

Den Vektor mußt du nun so verschieben dass sein Fußpunkt auf dem Mittelpunkt zwischen A und B liegt. Dann nur noch in die eine Richtung den einen Punkt abtragen, und mit -1 multiplizieren.

[Cullen04]

@DerRoll

Tut mir leid, ich verstehe immer noch nicht, was ich jetzt machen muss. Mit welcher geraden berechne ich denn den Lotfußpunkt und wie verschiebe ich den auf den Mittelpunkt?

[DerRoll]

@Cullen04

Du hast doch gesagt du hast den Mittelpunkt zwischen A und B schon berechnet, oder? Wenn du zu dem jetzt den Vektor der die Senkrechte dar stellt addierst, wo landest du dann? Zeichne dir das mal in 2D auf, dann siehst du es besser.

[Cullen04]

@DerRoll

Ich habe jetzt noch das Bild hochgeladen wie weit ich gekommen bin. Was habe ich denn berechnet, wenn ich Mittelpunkt und Vektor addiere. Würde es Ihnen etwas ausmachen mir die Schritte nochmal nacheinander aufzuschreiben?

[DerRoll]

@Cullen04

Du hast eine mögliche Koordinate für einen Eckpunkt der Raute berechnet. Den zweiten erhälst du wenn du statt dessen den Vektor vom Mittelpunkt subtrahierst. Wie gesagt, mache dir eine Zeichnung in 2D, dann siehst du das besser. Ich möchte noch bemerken dass ich deine Rechnungen nicht nachvollziehe. Ich schreibe dir nur einen möglichen Lösungsweg auf.