wie bestimmt in welchem punkt eine tangente parallel zu einer gerade bzw. zu einer achse ist?
es ist eine eigenleistung dabei, also würde es gegen die regeln verstoßen wenn man die frage löschen würde...!
ich habe die funktion f(x) x² + 4x + 3
nun habe ich alle schnittpunkte ausgerechnet und die steigung der tangenten an diesen schnittpunkten
jetzt muss ich ausrechnen, in welchem punkt eine tangente parallel zu einer gerade bzw, zu einer achse ist..
die gerade lautet btw 2x -y +3 = 0
muss ich die ableitungsformel nehmen, den differenzenquotienten oder den differentialquotienten? für die frage bezüglich der gerade müsste ich ja das ergebnis einfach die geradenformel einfügen..
3 Antworten
nun habe ich alle schnittpunkte ausgerechnet und die steigung der tangenten an diesen schnittpunkten
Das ist für die eigentliche Aufgabe wohl eher irrelevant und verwirrt nur. Das hättest du weglassen sollen, zumal du nicht sagst, was für Schnittpunkte du berechnet hast (vermutlich wohl die Achsenschnittpunkte).
jetzt muss ich ausrechnen, in welchem punkt eine tangente parallel zu einer gerade bzw, zu einer achse ist.
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Die Steigung der Geraden:
2 x - y + 3 = 0
<=> y = 2 x + 3
ist offensichtlich gleich 2. Du musst nun also eine Stelle x finden, an der die Steigung des Graphen der Funktion f ( x ) = x ² + 4 x + 3 gleich 2 ist. Das macht man am einfachsten mit Hilfe der Ableitung, denn die gibt ja für jede Stelle x die Steigung der zugrunde liegenden Funktion f ( x ) an.
Du suchst also eine Stelle x an der gilt: f ' ( x ) = 2
Die Ableitung von f ( x ) ist :
f ' ( x ) = 2 x + 4
Der Wert dieser Ableitung soll gleich 2 sein, also:
2 x + 4 = 2
<=> x = - 1
Die zughehörige y-Koordinate ist:
y = x ² + 4 x + 3
= 1 - 4 + 3
= 0
Somit ist die Tangente an f ( x ) die durch den Punkt ( - 1 | 0 ) geht, parallel zu der Geraden y = 2 x + 3.
Parallelität zu den Achsen:
Die x-Achse hat die Steigung 0, also ist eine Stelle x gesucht, an der gilt:
f ' ( x ) = 2 x + 4 = 0
<=> x = - 2
Die zugehörige y-Koordinate ist
y = x ² + 4 x + 3
= 4 - 8 + 3
= - 1
Somit ist die Tangente an f ( x ) die durch den Punkt ( - 2 | - 1 ) geht, parallel zu der x-Achse.
Die Steigung der y-Achse ist unendlich groß. Die Parabel zu f ( x ) aber hat an keiner Stelle x eine unendlich große Steigung, denn
f ' ( x ) = 2 x + 4
hat für jedes x einen endlichen Wert. Es gibt also keine Tangente an f ( x ), die parallel zur y-Achse verläuft.
Also wenn etwas parallel ist, hat es die gleiche Steigung. Die Steigung der x-Achse ist Null, die Steigung der y-Achse ist Unendlich. Die Steigung deiner angegeben Geraden ist ja, wenn man die Gleichung umschreibt, y = 2x + 3. Also ist die Steigung 2.
Nun musst du gucken in welchen Schnittpunkten, die Steigungen übereinstimmen.
Ehrlich gesagt finde ich deine Frage etwas verwirrend. Was für Schnittpunkte hast du berechnet und was willst du damit?
Aber mal so als Denkanstoss: Was ist die Steigung der gegebenen Gerade? Die kann man einfach ablesen, dafür musst du nichts rechnen!
Dann überlegst du dir, wie du die Steigung der quadratischen Funktion berechnen kannst, und zwar allgemein, also als Funktion von x. Und dann setzt du diese Steigung gleich mit der Steigung der Geraden.