Wie bestimme ich diese (Funktionsvorschrift)?
Hallo, in einer Aufgabe meines Mathebuches, ist die Aufgabenstellung überhaupt nicht nachzuvollziehen mit der Grafik, wenn ich dies vergleiche. Der Lehrer sagte uns, dass so eine Aufgabe in der Arbeit vorkommen wird, wodurch es für mich umso mehr von Bedeutung ist, die Aufgabe zu verstehen.
Vielen Dank im Voraus für jede hilfreiche Antwort!! :-)
3 Antworten
Hallo,
wenn der linke Mast die y-Achse darstellt, dann gilt f(0)=45.
So lautet Deine Funktion f(x)=ax²+bx+45
a und b bekommst Du durch Einsetzen zwei weiterer Punkte heraus.
Du hast den Punkt (150|22,5), weil der Baum 50 m vom zweiten Mast, also 200-50=150 m vom ersten Mast entfernt ist. Da der Baum 17,50 m hoch ist und der vereiste Draht an dieser Stelle fünf Meter über dem Baumwipfel hängt, ist der Funktionswert für x=150 f(x)=22,5.
Dann hast Du noch den Punkt (200|45), weil der zweite Mast 200 m vom ersten entfernt ist und auch 45 Meter hoch.
Setzt Du den ersten Punkt in f(x) ein, bekommst Du die Gleichung:
22500a+150b+45=22,5
Beim zweiten Punkt hast Du die Gleichung:
40000a+200b+45=45
Wenn Du die nach b auflöst, also folgende Schritte durchführst:
40000a+200b=0
200a+b=0
b=-200a, dann kannst Du an Stelle von b den Ausdruck -200a in die erste Gleichung einsetzen:
22500a-30000a=-22,5
-7500a=-22,5
7500a=22,5
a=3/1000
Da b=-200a ist, ist b=-600/1000=-3/5
f(x)=(3/1000)x²-(3/5)x+45
Der minimale Abstand zum Boden ist genau zwischen den Masten bei x=100.
f(100)=15
Aufgaben c) und d) löst Du wie Aufgabe a, nur daß Du die Punkte (150|33,75) einsetzt bzw. (150|37,5), also für den Funktionswert die Baumhöhe + den Abstand des Baumwipfels zum Kabel. An den anderen beiden Punkten ändert sich nichts, die sind durch die Position und die Höhe der Masten festgelegt.
Herzliche Grüße,
Willy
Nun teilen wir die Aufgabe erstmal etwas ein.
"Die Hochspannungsleitung wird durch eine Parabel beschrieben". Heiß der
Abstand vom Boden ist durch eine quadratische Gleichung beschrieben, sagen wir h(x)
h(x) = ax² + bx +c
a) Funktionsvorschrift für vereistes Kabel bestimmen.
Ich würde mein Koordinatensystem am linken Mast starten
x im Bereich [0, 200] und y [0, 45]
^ h(x)
|
- > x
Die beiden Maste sind gleich hoch d.h h(x = 0) = h( x = 200 ) = 45
Nun hast du 2 Punkte, sagen wir mal A(0 /45) und B(200/45).
"Der Baum ist 50m vom Mast entfernt" da der Mast nicht angeben ist (A oder B) sage ich mal aus der Skizze das es 50 m vom Punkt B entfernt ist.
D.h Die x-Koordinaten vom Baum ist Punkt C. C( 150 / Yc).
Die Höhe des Kabels an der position des Baumes ist h( x = 150) = 17.5 + 5 = 22.5 = Yc
Nun ist hast du auch die Position vom Punkt C (150/22.5)
Du hast damit 3 Gleichungen, 3 Unbekannte( a,b,c) und kannst damit die
quadratische Funktionsgleichung aufstellen.
b) dh/dx = 0 die 1. Ableitung bilden oder den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen (je nachdem was ihr grad macht)
c) hier ändert sich Yc = 16.25 + 17.50 = 33.75
der Rest A, B und Xc bleiben gleich. Deine Funktionsgleichung ändert sich
h2(x) = a2*x² + b2*x + c2
wieder die Koeffizienten bestimmen.
den neuen Scheitelpunkt bestimmen, Sy ist dann der minimale Abstand vom Boden.
d) Yc = 20 + 17.5 = 37.5
Die freie Luft zwischen Kabel und Boden ist der minimale Abstand vom Kabel und Boden.
Du kennst drei Punkte, durch die das Kabel geht: Die beiden Mastspitzen und der Punkt oberhalb des Baums. Versuche erst mal die Koordinaten dieser Punkte zu finden. Setze am besten den linken Mast auf x=0.