Hilfe: Extremwertproblem?
Hier die Aufgabe:
Ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt 400 m² erhalten. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang des Rechtecks minimal wird?
Bitte ausführliche Antwort, da ich es leider noch nicht verstehe.
Mit Hilfe des Rechenweges müsste es dann nachvollziehbar sein.
Danke für eure Hilfe:)
2 Antworten
Wenn der Umfang minimal sein soll, nimm ein Quadrat. Also 20m * 20m.
Beweis: Umfang ist U = 2a+2b, woll der minimal werden, muss die Ableitung = 0 sein und die zweite Ableitung >0. Außerdem gilt: 400 = a * b, also a = 400/b.
Daraus folgt: U = 800/b+2b. Wenn wir das jetzt nach b ableiten, dann erhalten wir: U ' = -800/b²+2. Setzen wir das gleich null:
-800/b² +2 = 0
<=> 800/b² = 2
<=> 800 = 2b²
<=> 400 = b²
<=> 20 = b
und a = 400/b = 400/20 = 20
Ist das auch ein Minimum?
Zweite Ableitung: 1600/b³ = 1600/20³ = 0,2 >0, also ja!
Wenn der kleinste Umfang gewünscht wird, ist das Rechteck ein Quadrat.