Wie berechnet man diese Matheaufgabe?

Answer 1

[mihisu]

Die Zwischenstellen sollen in der Intervallmitte liegen. D.h. für k ∈ {1, 2, 3} ist jeweils:

$x̂_k=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}$

Also:

$x̂_1=\frac{1}{2},\ \text{ }\ x̂_2=2,\ \text{ }\ x̂_3=\frac{7}{2}$

Die Riemann'sche Zwischensumme zur gegebenen Zerlegung und den Zwischenstellen ist dann:

$S=\sum_{k=1}^3g\left(x̂_k\right)\cdot\left(x_k-x_{k-1}\right)=...$

Für die Ober- bzw. Untersumme verwendet man statt diesen Funktionswerten f(x̂ₖ) an den Zwischenstellen xₖ jeweils den maximalen bzw. minimalen Funktionwert auf dem jeweiligen Teilintervall (bzw. genauer eigentlich das Infimum bzw. Supremum, da nicht unbedingt immer ein Maximum bzw. Minimum existieren muss).

$O=\sum_{k=1}^3\sup_{x\in\left[x_{k-1},\ x_k\right]}g\left(x\right)\cdot\left(x_k-x_{k-1}\right)=...$

$U=\sum_{k=1}^3\inf_{x\in\left[x_{k-1},\ x_k\right]}g\left(x\right)\cdot\left(x_k-x_{k-1}\right)=...$

Da die Funktion f offensichtlich streng monoton steigend ist, wird das Infimum/Minimum an der linken Intervallgrenze xₖ₋₁ angenommen und das Supremum/Maximum an der rechten Intervallgrenze xₖ angenommen. D.h. im konkreten Fall gilt:

$O=\sum_{k=1}^3g\left(x_k\right)\cdot\left(x_k-x_{k-1}\right)=...$

$U=\sum_{k=1}^3g\left(x_{k-1}\right)\cdot\left(x_k-x_{k-1}\right)=...$

Comments

[mihisu]

Lösungsvorschlag zum Vergleich: https://i.imgur.com/BsdIjEL.png

[Loyaltinesswess]

@mihisu

Ich tue mich bei solchen Aufgaben echt schwer, danke.