f(x)= 2-x Unter und Obersumme berechnen?
Intervall: 0-2, Lösung soll 2 sein, aber ich komm nicht drauf...
2 Antworten
Hallo,
ich denke mal, Du sollst den Flächeninhalt zwischen der Geraden y=2-x und der x-Achse im Intervall [0;2] bestimmen.
So etwas wirst Du später mit Hilfe eines Integrals lösen. Zunächst aber behilfst Du Dich damit, daß Du Rechtecksflächen berechnest, deren eine Seite ein Abschnitt auf der x-Achse ist und die andere dem Funktionswert an der Stelle x₀ entspricht. Das Produkt aus diesen beiden entspricht der Fläche des Rechtecks.
Bei der Funktion f(x)=2-x kannst Du es so handhaben, daß Du Dein Intervall in zwei gleich große Abschnitte auf der x-Achse einteilst, die jeweils eine Einheit lang sind. Der erste Abschnitt geht von x=0 bis x=1, der zweite von x=1 bis x=2. Nun kannst Du diese Abschnitte als Grundseiten eines Rechtecks sehen. Die Senkrechte dazu kann nun entweder durch den kleineren x-Wert des Intervalls oder durch den größeren gehen.
Du kannst also in dem Intervall von x=0 bis x=1 entweder 2-0=2 oder 2-1=1 als zweite Seite bestimmen. Bei dem ersten Wert bekommst Du als Rechtecksfläche 1*2=2 Flächeneinheiten heraus,
beim zweiten ist die Fläche 1*1=1 FE. Das erste ist die Ober- das zweite die Untersumme. Im Intervall [1;2] hast Du entweder die Fläche 1*1=1 oder 1*0=0. Wenn Du die Flächen der beiden Untersummen und der beiden Obersummen addierst, bekommst Du als Wert für die Untersumme
1+0=1 FE heraus, als Wert für die Obersumme 2+1=3 FE.
Die Wahrheit liegt dazwischen, in diesem Fall bei 2 FE.
Allerdings ist der wirkliche Wert nicht immer so glatt zu ermitteln, vor allem, wenn Du es mit Flächen unter Kurven zu tun hast. In diesem Fall mußt Du Dich der Fläche so annähern, daß Du die x-Abschnitte immer kleiner werden läßt, bis sie fast bei Null sind. Dadurch bekommst Du unzählige sehr schmale Rechtecke, deren Summe die Fläche unter der Kurve sehr genau widerspiegelt. Als Grenzwert wirst Du ein Integral bekommen, mit dessen Hilfe Du die Fläche bestimmen kannst.
Deine Funktion f(x)=2-x hätte die Stammfunktion F(x)=2x-0,5x².
Um die Fläche im Intervall [0;2] zu bestimmen, würdest Du zunächst die 2 in die Stammfunktion einsetzen: F(2)=4-2=2, anschließend die 0: F(0)=0-0=0.
Dann müßtest Du den zweiten Wert vom ersten abziehen: 2-0=2 und Du hättest die Fläche. Es sind tatsächlich 2 FE.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den beiden Gerade x=0 und x=2 eingeschlossen wird, hat in der Tat den Inhalt 2 FE.
Das hat aber nichts mit der Ober- und der Untersumme zu tun. Die Obersumme wird größer als 2 FE sein, wohingegen die Untersumme kleiner als 2 FE sein wird.
Deine Aufgabe: Zerlege das Intervall [0;2] gleichabständig. Wie klein du das nun zerlegst, musst du selbst entscheiden. Sagen wir mal, du möchtest das Intervall vierteln. Dann erhälst du 5 Stützstellen für deine Berechnung, diese sind:
x1 = 0 ; x2 = 0,5 ; x3 = 1 ; x4 = 1,5 ; x5 = 2
Dann ist der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Werten immer 0,5. Man nennt diesen Abstand auch Schrittweite.
Untersumme heißt nun, dass du die betrachtete Fläche unter der Kurve (bzw. hier: Gerade) mit Rechtecken füllst, die die Schrittweite 0,5 haben.
Da der Graph von f eine Gerade mit negativer Steigung ist, Rechtecke der Untersumme immer durch den rechten oberen Eckpunkt begrenzt, das ist der Funktionswert des jeweils zweiten x-Wertes der Teilintervalle. Deine Teilintervalle sind:
[0;0,5] , [0,5;1] , [1;1,5] , [1,5;2]
Für jedes dieser Teilintervalle rechnest du dann die Rechtecksfläche aus:
A1 = 0,5 * f(0,5) = 0,5 * (2-0,5) = 0,75
A2 = 0,5 * f(1) = 0,5 * (2-1) = 0,5
A3 = 0,5 * f(1,5) = 0,5 * (2-1,5) = 0,25
A4 = 0,5 * f(2) = 0,5 * (2-2) = 0
Dann ist die Untersumme: U = 0,75+0,5+0,25+0 = 1,5
Bei der Obersumme verwendest du die Funktionswerte des jeweils ersten x-Wertes der Teilintervalle:
A1 = 0,5 * f(0) = 0,5 * (2-0) = 1
A2 = 0,5 * f(0,5) = 0,5 * (2-0,5) = 0,75
A3 = 0,5 * f(1) = 0,5 * (2-1) = 0,5
A4 = 0,5 * f(1,5) = 0,5 * (2-1,5) = 0,25
Dann ist die Obersumme: O = 1+0,75+0,5+0,25 = 2,5
Der Mittelwert von Untersumme und Obersumme ist:
M = 1/2 * ( U + O ) = 1/2 * (1,5+2,5) = 1/2 * 4 = 2