Wie berechnet man die zurückgelegte Distanz eines Objekts mit steigender beschleunigung?
Also nicht nur beschleunigung, sondern die beschleunigt des Objekts steigt auch linear an. Wenn man nur die Distanz eines sich beschleunigenden Objekts berechnen will, benutzt man ja: s = 0,5 • a • t²
könnte man es für eine steigende Beschleunigung dann so berechnen? :
0,5 • (0,5 • a • t²) • t²
Ich weiß die Klammer ist unnötig, trotzdem macht es die Rechnung verständlicher. Ist das jedenfalls richtig? Wenn nein wie macht man das?
4 Antworten
Prinzipiell ist das über Ableitungen definiert (also über die Änderung der jeweiligen Größen). Beispielsweise gilt für die Geschwindigkeit:
wobei das d einfach eine unendlich kleine Änderung ist, was man dann eben mit einer Ableitung berechnen kann. Genauso gilt für die Beschleunigung:
Wenn sich die Beschleunigung auch nochmal ändert, dann brauchen wir noch einen Schritt mehr. Die Änderung der Beschleunigung wird üblicherweise "Ruck" genannt und wäre demnach
Das Gegenteil der Ableitung (Änderung) ist das Integral (die Fläche unter der Funktionskurve). Damit kann man dann schauen, was passiert, wenn wir einen konstanten Ruck betrachten (also eine lineare Änderung der Beschleunigung):
Erster Schritt (Beschleunigung):
Zweiter Schritt (Geschwindigkeit):
Letzter Schritt (Strecke):
Die Größen mit dem Index 0 sind die Anfangsgrößen bei t=0. Wenn sich ein Körper also mit einem konstanten Ruck bewegt, aber anfangs keine Beschleunigung, keine Geschwindigkeit und keine Startposition besitzt, so berechnet sich die Strecke zu
Der Ruck wäre dann in "Beschleunigung pro Sekunde" angegeben, also mit der Einheit m/s^3. Du siehst übrigens in den Formeln oben, dass für eine konstante Beschleunigung (also j=0) wieder die dir bekannten Formeln für Geschwindigkeit und Strecke rauskommen, also z.B. v=a*t und s=1\2*a*t^2.
Die Anfangsbeschleunigung wäre das a_0 in der Formel im “letzten Schritt”. Ich weiß aber nicht ob es das ist was du haben möchtest. Das wäre z.B. der Fall, wenn ein Objekt ständig beschleunigt wird, aber in die entgegengesetzte Richtung, als das es sich bewegt. Dadurch bremst es ab und hält irgendwann an, bevor es sich in die andere Richtung bewegt. An dem Umkehrpunkt hättest du keine Geschwindigkeit, aber eine Beschleunigung.
das was du glaube ich möchtest, um auch die Massenabnahme zu berücksichtigen ist die sogenannte Raketengleichung. Die herzuleiten ist aber noch komplizierter. Die Formel an sich findest du aber auch auf Wikipedia z.B. darin ist dann realistisch der Schub und die Massenreduktion aufgrund des Treibstoff-Ausstoß enthalten und gibt dir üblicherweise die Geschwindigkeit als Ergebnis an. Das müsste man dann wieder integrieren um die zurückgelegte Strecke zubekommen. Aber wie gesagt… das ist hier noch schwieriger
Dein Gedankengang ist übrigens schon sehr gut. Allerdings klappt das hier nicht, da der Ruck in dem Fall nicht konstant ist, weshalb die Formel aus meiner Antwort nicht mehr stimmt. Wenn du von einem gleichmäßigen Ausstoß des Treibstoffes ausgehst, ist die beschleunigende Kraft konstant. Jetzt gilt aber die Grundgleichung der Mechanik F=m*a und die Beschleunigung ergibt sich zu a=F/m. Wenn sich die Masse ändert ist dies also keine lineare Änderung der Beschleunigung mehr, sondern eine hyperbolische / inverse Abhängigkeit zur Masse und damit zur Zeit.
Das ist halt der mathematische Teil der Physik, der später eine immer größer werdende Rolle spielen wird. Es ist die Sprache mit der die Physik arbeitet. Diese Art von Integral ist aber eine der einfachsten (über eine sogenannte Polynomfunktion) und du findest bestimmt genug darüber im Internet, falls dich das interessiert. Ich hab gesehen dass du erst in der 8. Klasse bist, also ist es evtl. noch etwas zu früh, aber Ansätze dazu macht man in der Regel auch noch in der Schule.
Wenn nein wie macht man das?
Wenn man die Funktion für die Beschleunigung hat, erhält man die Geschwindigkeit, indem man die Beschleunigungsfunktion integriert:
v(t) = ∫a(t) dt
Wenn man nochmal integriert, erhält man die Funktion für den Weg:
s(t) = ∫v(t) dt = ∫ ∫ a(t) dt dt
Die Intergrationskonstanten C geben dann jeweils die Anfangsgeschwindigkeit vo bzw. den Anfangsweg so wieder.
Musst du halt integrieren.
Aus a=b*t
folgt
v=b/2*t^2
Und
s=b/6*t^3
Schon ein wenig her, aber ich glaube mich zu erinnern..
D = v*t + 1/2*a*t^2
Ich verstehe nicht ganz. v ist ja die geschwindigkeit, aber diese ändert sich ja die ganze zeit, also was soll ich dann bei v einsetzten?
Die Dauer in der das Objekt sich bewegt.
z.B Der Apfel fällt 10 Sekunden lang bei 9.8m/s².
(Windwiderstand mal ignorier)
Wenn du nur die Beschleunigung kennst, brauchst du einen zweiten Wert wenn du ne Distanz willst
Aber ich meine ja das sich nicht nur Geschwindigkeit ändert sondern auch die beschleunigung. Z. B. eine Rakete beschleunigt immer schneller weil sie Treibstoff verliert und leichter wird wodurch sie mit der Zeit eine höhere beschleunigung kriegt.
Naja die Erdbeschleunigung ist ja eine Beschleunigung. Ein Apfel fällt ja auch immer schneller.
9.8m/s²
Das ist Quadratisch - Würdest du es aufzeichnen würde die Kurve immer steiler werden, exponentiell.
eine Geschwindigkeit wäre 9.8m/s
Habe ich mir auch schon gedacht. Ist dann v•t dafür da den zurückgelegten Weg vor der Beschleunigung zusätzlich zu berechnen? Also man fährt 10 Sekunden 30 km/h und dann beschleunigt man noch für eine bestimmte Zeit.
Dann wird er denk ich andere Mathematik brauchen. Vermutlich Integrale und Differentiale
v•t ist dafür da, den Teil der Geschwindigkeit zu berücksichtigen, die das Objekt am Beginn des betrachteten Zeitabschnitts schon hat.
Ohne v*t bekommt man die Strecke, die das Objekt zurücklegt, wenn es aus dem Stand beschleunigt.
Ja, man muss dann ein Integral lösen. Auch 1/2*a*t^2 entsteht ja durch die Lösung des Integrals über v(t) dt mit v(t) = a*t.
Dachte ich mir. Ist schon 4 Jahre her dass ich sowas berechnen musste.
Ich weiß noch nicht was Integral lösen ist. Bin 8. Klasse und hatte gerade Lust etwas zu berechnen. Aber ich kann mir dann ja Selber das anschauen und anschließend das berechnen.
Und wie berechnet man die zurückgelegte Strecke wenn bereits am Anfang eine Beschleunigung vorhanden ist? Ich würde nähmlich gerne rechnen wie weit eine Rakete in einer bestimmten Zeit kommt. Eine Rakete hat ja am Anfang noch keine Geschwindigkeit, hat keine Strecke zurückgelegt, aber hat bereits eine Beschleunigung, die stetig wächst, da sie durch den Treibstoff Verbrauch leichter wird. Die Formel dafür würde dann aber wahrscheinlich nur dafür funktionieren, wenn man davon ausgeht, das die Rakete gerade startet und keine Kurve Fliegt.