Wie berechnet man die Seitenlänge und die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks, wenn man nur den Flächeninhalt hat?
Mir ist klar, dass man den Satz des Pythagoras benutzen muss, aber ich weiß nicht, wie.
8 Antworten
Ein gleichseitiges Dreieck ist etwas besonderes. Dort ist nämlich viel schon im Voraus definiert, dass die Seitenlängen und die Winkel alle gleich sind.
Überlege dir zuerst einmal, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet:
A = 1/2 * g * h
g ist klar, das ist einfach eine der drei gleichlangen Seiten.
Jetzt noch h. h ist abhängig von der Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks (in Fachsprache: h ist proportional zu a oder h ~ a).
Also kannst du h in Abhängigkeit von a ausdrücken. Dazu denkst du dir ein rechtwinkliges Dreieck, zwischen h, a und der Hälfte von g (also auch der Hälfte von a).
Der rechte Winkel liegt hier zwischen a/2 und h, die Hypotenuse ist a.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du nun eine Gleichung aufstellen:
(a/2)² + h² = a²
Das noch nach h auflösen:
(a/2)² + h² = a²
a²/4 + h² = a² | -a²/4
h² = a² - a²/4
h² = a² - 1/4 * a²
h² = 3/4 * a²
h = √(3/4 * a²)
= √3/√4 * √(a²)
= (√3)/2 * a
Also ist h = (√3)/2 * a und du kannst h somit als (√3)/2 * a schreiben.
Setzen wir nun das h in Abhängigkeit von a in die Flächeninhaltsformel von oben ein:
A = 1/2 * g * h
= 1/2 * g * (√3)/2 * a
Das g ist ja einfach eine Seite und da alle Seiten gleichlang sind, ist das g genauso lang wie irgendeine andere Seite a und wir können g durch a ersetzen:
A = 1/2 * a * (√3)/2 * a
Ein bisschen umformen:
A = 1/2 * a * (√3)/2 * a
= 1/2 * (√3)/2 * a * a
= 1/2 * (√3)/2 * a²
= (√3)/4 * a²
Das kannst du jetzt noch nach a umformen:
A = (√3)/4 * a² | *4/√3
4/√3 * A = a² | √
√(4/√3 * A) = a
Das könntest du jetzt zwar noch weiter vereinfachen, das wird aber dann hässlich, also lass' ich's jetzt mal so.
Setze den gegebenen Flächeninhalt A nun in die Formel ein, dann hast du a.
Mit a kannst du nun h bestimmen, wir haben ja oben eine Formel dafür hergeleitet (h = (√3)/2 * a).
Und das war's auch schon, vielleicht eine bisschen umfangreichere Aufgabe, aber wenn du sie strukturiert angehst, ist sie auch nicht mehr unmöglich, wie sie vielleicht anfangs erschien. :)
LG Willibergi
Gleichseitiges Dreieck:
A = a * h / 2 Keine Indizierung, da alle a und alle h identisch
a² = h² + (a/2)² Pythagoras für das halbe gleichseitige Dreieck
h² = a² - a²/4
h² = 3/4 a² denn 1 - 1/4 = 3/4
h = a √(3/4)
h = a/2 * √3
Oben in A eingesetzt:
A = a²/4 * √3
Weiter mit vertauschten Seiten:
a²/4 * √3 = A | *4
a² * √3 = 4A | √3
a² = 4A / √3 | √
a = 2√A / ⁴√3
Zugegeben: eine ziemlich heftige Formel!
Das kann man nun ausrechnen und damit wieder h ermitteln (oben einsetzen).
Du kannst gerne etwas fragen.
In einem Kommentar, bitte!
Du siehst, wann ich online bin, wenn du in meinem Profil die Webseite anklickst.
Der Flächeninhalt eines (beliebigen) Dreiecks ergibt sich bekanntlich aus: 0,5*höhe*Grundlänge (=Seite a).
a^2+b^2=c^2. Halbiere das Dreieck in der Mitte, um ein rechtwinkliges zu erhalten. Die (untere) Seite a ist damit (a/2) lang.
Somit erhält man: (a/2)^2+(b^2)=c^2
Nun kann man die Notation etwas abändern:
Die Hypotenuse sei c..wir nennen Sie nun a, denn Sie ist genau so lang wie a.
Die Seite b, die an den rechten Winkel angelehnt ist, ist bekanntlich die Höhe des Dreiecks..somit gilt: b=h.
Setzt man dies nun in die o. g. Formel ein ergibt sich:
(a/2)^2+h^2=a^2
Nach h umstellen liefert: h=Wurzel(a^2-(a/2)^2) = Wurzel(3)*(a/2).
Dies wird nun in die Flächeninhaltsformel eingesetzt und man erhält:
A(Flächeninhalt)=0,5*Wurzel(3)*(a/2)*Grundlänge (=a!)
also: A=0,5*Wurzel(3)*(a/2)*a = Wurzel(3/4)*(a^2/2)
Du erhälst also: A=Wurzel(3/4)*(a^2/2)...A ist gegeben. Somit bleibt dir eine Unbekannte a und damit die gesuchte Seitenlänge des Dreiecks.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge a und die Höhe h, die Fläche berechnet sich aus A=a * h/2
Pythagoras ergibt h²+(a/2)²=a², also h²=a²-a²/4=3/4 a²
h=Wurzel(3/4 a²)=1/2 * a * Wurzel(3)
A=a * 1/2 * a * Wurzel(3)/2=a² * 1/4 * Wurzel(3)
Ich bin min nicht ganz sicher, aber vielleicht kann man das mit folgender Formel berechnen:
( b- Seitenlänge)
2*A= b*[ Wurzel ( (b^2) + ( ( (1/2)b)^2) ]