Entfernung Mittelpunkt -> Ecke beim gleichseitigen Dreieck?
Hi, wie berechnet man die Entfernung vom Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks, der Seitenlänge a, von einer der Ecken?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/DepravedGirl/1444750844_nmmslarge.jpg?v=1444750844000)
Im Mittelpunkt schneiden sich h_A und h_B
In einem gleichseitigen Dreieck haben alle Winkel 60 °
Die Steigung der Geraden die h_A bildet hat hat den Steigungswinkel 30 °
und die Steigung der Geraden die h_B bildet hat den Steigungswinkel - 30°
m = tan(Steigungswinkel)
Nun die Geradengleichungen aufstellen :
1-te Gerade :
g _ 1 = 0.577350269 * x
2-te Gerade :
m = - 0.577350269
Punkt (a | 0)
0 = - 0.577350269 * a + b
b = 0.577350269 * a
g _ 2 = - 0.577350269 * x + 0.577350269 * a
Schnittpunkt der beiden Geraden :
0.577350269 * x = - 0.577350269 * x + 0.577350269 * a
2 * 0.577350269 * x = 0.577350269 * a | : 0.577350269
2 * x = a
x = a / 2
in g _ 1 einsetzen :
0.577350269 * (a / 2) = tan(30°) * a / 2
Abstand
zwischen dem Punkt (0 | 0) und dem Punkt (a / 2 | tan(30°) * a / 2) mit
der Abstandsformel zwischen zwei Punkten ausrechnen (Internet) :
d = √((a / 2) ^ 2 + (tan(30°) * a / 2) ^ 2)
tan(30°) ^ 2 = (1 / 3)
d = √((1 / 4) * a ^ 2 + (1 / 12) * a ^ 2)
d = √((3 / 12) * a ^ 2 + (1 / 12) * a ^ 2)
d = √((4 / 12) * a ^ 2)
d = a / √(3)
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Eine völlig andere Herleitung :
In einem gleichseitigen Dreieck gilt folgendes :
3 * a = h * √(12)
also
h = 3 * a / √(12)
außerdem betragen alle Winkel 60 °
Wenn du nun a / 2 und Winkel (60 ° / 2) nimmst und auf das rechtwinklige Dreieck überträgst, dann erhältst du :
Gamma = 90 °
b = a / 2
Alpha = 30 °
a = b * tan (Alpha)
c = a / sin (Alpha)
Beta = 90 ° - Alpha
a = (a / 2) * tan(30°)
c = (a / 2) * tan(30°) / sin(30°)
Beta = 60 °
tan(30°) / sin(30°) = 2 / √(3)
c = (a / 2) * 2 / √(3) = a / √(3)
c = a / √(3)
Da ich den Abstand oben d genannt hatte also :
d = a / √(3)
Es bleibt also dabei, die Entfernung des Mittelpunktes zu einem Eckpunkt beträgt im gleichseitigen Dreieck d = a / √(3)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Schau Dir mal dieses Dreieck an. Hilft Dir das was?
![- (Schule, Mathematik)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/246698551/0_big.png?v=1493661835000)
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Die Entfernung von Mittelpunkt zu Ecken ist der Radius des Umkreises.
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Wie konstruierst Du den Mittelpunkt? Hat was mit den Senkrechten auf der halben Seite zu tun.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Heißt das, Du kannst es nicht ausrechnen oder Du weißt nicht, wie man dazu kommt?
mit sqrt(3) / 2 * a
aber ich weiß nicht weiter.