Wie berechnet man die LSG einer lin. DGL mit Anfangswertproblem?

Ich würde sehr gerne erfahren, wie man bei der 3.C) das Anfangswertproblemder linearen DGL löst. Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

[mihisu]

Du hast in b) bereits die allgemeine Lösung der DGL erhalten. Die sollte beispielsweise so aussehen...

$y(x)=c_1\cdot e^{2x}+c_2\cdot e^{3x}$

Nun sollst du in c) diejenige Lösung bestimmen, für die y(0) = 0 und y'(0) = 1 gilt. Und da steht sogar die Vorgehensweise, wie du das tun sollst... „durch Einsetzen dieser Bedingungen in die allgemeine Lösung“.

Um y'(0) = 1 einsetzen zu können, muss man zuvor noch kurz die Ableitung der allgemeinen Lösung bilden, was nicht weiter schwierig sein sollte...

$y'(x)=c_1\cdot e^{2x}\cdot 2+c_2\cdot e^{3x}\cdot 3$

Nun kann man die Bedingungen y(0) = 0 und y'(0) = 1 einsetzen und erhält die Gleichungen...

$y(0) = 0\quad \Leftrightarrow\quad c_1\cdot e^{2\cdot 0}+c_2\cdot e^{3\cdot 0} = 0\quad\Leftrightarrow\quad c_1+c_2=0$

$y'(0)=1\quad \Leftrightarrow\quad c_1\cdot e^{2\cdot 0}\cdot 2+c_2\cdot e^{3\cdot 0}\cdot 3=1\quad\Leftrightarrow\quad 2c_1+3c_2=1$

Du hast dann also ein lineares Gleichungssystem mit den Gleichungen...

$\begin{array}{rrcrcr}\text{I}:\quad & c_1&+&c_2&=&0 \\ \text{II}:\quad & 2c_1&+&3c_2&=&1\end{array}$

... welches du lösen kannst, um...

$c_1=-1,\quad c_2=1$

... zu erhalten. Damit kannst du dann die konkrete Lösung angeben (indem du die berechneten Koeffizienten in die allgemeine Lösung einsetzt)...

$y(x)=-1\cdot e^{2x}+1\cdot e^{3x}$