Wie berechnet man die Erlösfunktion (Mathe)?
Hoffe jemand kann mir da weiter helfen denn genau bei dieser aufgabe komme ich nicht weiter: Gegeben ist die folgende Funktion: P(x)= -3/4x + 15
Nun soll die Erlösfunktion [E(x)] und der maximale Erlös, der erzielt wird berechnet werden. Vielen dank im vorraus! 😄 Lg harmain
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/uncledolan/1444749091_nmmslarge.jpg?v=1444749091000)
p(x) = -0,75x + 15
---> das ist die sogenannte "Inverse Nachfragefunktion", sie gibt den Preis (y-Achse) in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge an (x-Achse) an
---> in Abgrenzung dazu gibt es die "Nachfragefunktion", diese gibt die nachgefragte Menge (y-Achse) in Abhängigkeit vom Preis (x-Achse) an
Was du jetzt brauchst, ist die Umsatzfunktion (auch Erlösfunktion genannt). Umsatz besteht immer aus Preis mal Menge. Daher ist die Erlösfunktion:
E(x) = p(x) * x = (-0,75x + 15) * x
--> E(x) = -0,75x² + 15x
Um jetzt das Maximum dieser Erlösfunktion zu bestimmen, musst du ihre Ableitung gleich 0 setzen:
E'(x) = -1,5x + 15 = 0
---> 15 = 1,5x
---> x = 10
Der maximale Erlös wird also bei der Menge x = 10 erzielt. Um die Höhe dieses Erlöses zu ermitteln, musst du diese 10 in die Erlösfunktion einsetzen:
E(10) = -0,75*10² + 15*10 = -75 + 150 = 75
Der maximale Erlös beträgt also 75 Geldeinheiten.
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Ich habe die ganz normale Ableitungsregel angewendet.
f(x) = a * x^n
f'(x) = n * a * x^(n-1)
Diese Ableitungsregel ist auf jeden Term einzeln (also erst auf -0,75x², dann auf 15x ) anzuwenden. Das liegt daran, dass ableiten linear ist. Wenn du mit Ableitungen Schwierigkeiten hast, gibt es dazu endlose gute Erklärungen im Internet (viel mehr als zu Sachen wie Erlösfunktion).
Heißt, aus -0,75x² (anders geschrieben -0,75 * x^2) wird:
2 * -0,75 * x ^(2-1) = -1,5 * x^1 = 1,5x
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Was ich nicht verstehe ist wiso du bei E(10) am ende der gleichung 150 geschrieben hast anstatt nur 15 wie es in der ausgangs gleichung steht p(x)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/uncledolan/1444749091_nmmslarge.jpg?v=1444749091000)
Die Ausgangsgleichung p(x) ist nur die Preisfunktion (auch "Inverse Nachfragefunktion" genannt). Diese gibt nicht den Umsatz an, sondern nur den Preis p in Abhängigkeit von der Menge x. Die Erlösfunktion ist aber Preis mal Menge. In Funktionenschreibweise heißt das p(x) * x, daraus ergibt sich E(x) = -0,75x² + 15x.
Die Funktion E'(x) = -1,5x + 15 ist nicht die Ausgangsfunktion, sondern die Ableitung der Erlösfunktion (auch "Grenzerlösfunktion" genannt). Diese muss gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst werden, da ein Hochpunkt (bzw. Tiefpunkt) einer Funktion immer dort gegeben ist, wo ihre Ableitung gleich 0 ist.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/vitus64/1459001297091_nmmslarge__0_101_1878_1878_a29846c3c30f7ab5b3d4a51e98fc715d.jpg?v=1459001299000)
E(x)=p(x)*x
E(x)=(-3/4*x+15)*x
E(x)=-3/4*x^2+15*x
Danke für deine vorheringen antworten auf meine fragen! :) Leider hab ich noch eine Frage: warum hast du bei E'(x)= -1,5x ... und nicht -0,75x wie es da drüber steht. wie bist du auf die -1,5x (...) bei E'(x) gekommen? Es wäre sehr nett wenn du mir das noch erklären könntest. Und nochmals vielen vielen dank für deine antworten auf meine fragen. Du hast mir sehr geholfen. ;-)