Wie berechnet man die Ableitung von Betragsfunktionen generell ,zb |x|^3?
Kann man da nicht wie üblich 3|x|^2 machen
3 Antworten
Für x ungleich 0 kannst du die Kettenregel anwenden, da |x| für x ungleich 0 differenzierbar ist.
Die Ableitung von |x| ist -1 wenn x<0 und 1 wenn x>0
Somit ist die Ableitung von
|x|^3 gleich 3|x|^2 wenn x>0 und -3|x|^2 wenn x<0
Für x=0 muss man ein wenig "tricksen"
Wenn f differenzierbar ist, dann ist |f(x)| an den Nullstellen von f differenzierbar, wenn die Ableitung an den Nuklstellen auch 0 ist.
Da |x|^3=|x^3| und 0 eine Nullstelle von x^3 ist, und die Ableitung dort 0 ist, ist die Ableitung an der Stelle 0 somit auch 0
Somit ist die Ableitung gleich sign(x)*3*x^2
(Sign ist die Vorzeichenfunktion, die entweder -1, 0 oder 1 als Wert hat)
Nein. Du darfst nicht einfach über nicht differenzierbare Punkte hinweg ableiten. Du mußt eine Fallunterscheidung machen und damit den Betrag auflösen.
Voraussetzung für die Ableitung ist die Differenzierbarkeit.
Und zwar im gesamten betrachteten Intervall.
Dies ist bei der Betragsfunktion nicht gegeben.